Q -permutable subgroups of finite groups

Abstract

A subgroup H of a group G is called Q-permutable in G if there exists a subgroup B of G such that (1) G=HB and (2) if H1 is a maximal subgroup of H containing HQG, then H1B=BH1<G, where HQG is the largest permutable subgroup of G contained in H. In this paper we prove that: Let F be a saturated formation containing U and G be a group with a normal subgroup H such that G/H∈F. If every maximal subgroup of every noncyclic Sylow subgroup of F∗(H) having no supersolvable supplement in G is Q-permutable in G, then G∈F.

Пiдгрупу H групи G називають Q-переставною в G, якщо iснує пiдгрупа B групи G така, що: 1) G=HB та 2) якщо H1 — максимальна пiдгрупа H, що мiстить HQG, то H1B=BH1<G, де HQG є найбiльшою переставною пiдгрупою G, що мiститься в H. У цiй роботi доведено наступне твердження. Нехай F — насичена формацiя, що мiстить U, а G — група з нормальною пiдгрупою H такою, що G/H∈F. Якщо кожна максимальна пiдгрупа кожної нециклiчної силовської пiдгрупи F∗(H), що не має надрозв’язного доповнення в G, є Q-переставною в G, то G∈F.