Полные асимптотики приближений некоторыми сингулярными интегралами в математическом моделировании

Abstract

При розв’язанні деяких типів задач прикладного характеру найбільш ефективними на даний час є методи теорії наближення функцій. На сучасному етапі розвитку в теорії наближення функцій в основному аналізуються наближення окремих функцій або цілих класів за допомогою заданих підпросторів функцій, які більш прості в обчисленнях порівняно з функціями, що апроксимуються. Найчастіше на практиці в ролі такого підпростору виступає множина алгебраїчних многочленів або ж множина тригонометричних поліномів заданого порядку. В результаті маємо новий тип задач, які в подальшому стали називатися екстремальними задачами теорії наближення функцій. У свою чергу серед усіх екстремальних задач теорії наближення функцій найцікавішими з точки зору математичного моделювання є так звані задачі Колмогорова–Нікольського. Їх суть полягає в знаходженні асимптотичних рівностей для величин наближення функцій з деяких класів конкретними методами підсумовування рядів Фур’є. Розглянуто питання про наближення неперервних 2π -періодичних функцій класу Ліпшиця деякими сингулярними інтегралами, яскравими прикладами яких виступають так звані узагальнені інтеграли Пуассона. В результаті досліджень були записані повні асимптотичні розклади за степенями 1/δ , δ → ∞ ∞, точних верхніх меж відхилень функцій з класу Ліпшиця від їх узагальнених інтегралів Пуассона. Отриманий в даній роботі результат дозволяє за допомогою ξ -функції Рімана виписувати не тільки головний член повного асимптотичного розкладу, а й другий, третій і т.д., що відповідно значно спрощує задачу алгоритмізації при розв’язанні поставленої прикладної проблеми. Крім того, узагальнені інтеграли Пуассона є розв’язками диференціальних рівнянь в частинних похідних і напряму пов’язані з методами розв’язання інтегральних, диференціально-різницевих і інтегро-диференціальних ігор, що мають безпосереднє відношення до ігрових задач динаміки.

In solving some types of applied problems, the most effective nowadays are methods of the theory of approximation of functions. In a modern stage of development of the theory of approximation of functions, one merely deals with either an approximation of individual functions or whole function classes by a preset subsets of functions that appear in a certain sense more convenient to deal with in calculations in comparison to the functions that should be approximated. In practice one often chooses a set of algebraic polynomials of a defined order as such subspace. As a result, a new type of problems appeared, that further was called the extremal problems of the theory of approximation. In turn, among all of the extremal problems of the theory of approximation the most interesting from the mathematical modelling point of view are the socalled Kolmogorov-Nikol’skii problems. The main goal of the Kolmogorov-Nikol’skii problem is to find the asymptotic equalities for the values of the approximation of functions of certain classes of specific methods of summation of Fourier series. In the paper a problem is considered of an approximation of 2π -periodic functions from the Lipshitz class by certain singular integrals. The most prominent examples of such integrals are the so-called generalized Poisson integrals. As a result, we wrote down the complete asymptotic expansions in terms of 1/δ , δ → ∞ , of the least upper borders of deviations of functions from the Lipshitz class from their generalized Poisson integrals. The obtained result allows us to write down not only the main term of the asymptotic expansion, but also using the Riemann ξ -function write down its second, third terms, etc., that, respectively, much simplifies the problem of algorithmization in solving of the stated applied problem. Moreover, the generalized Poisson integrals are the solutions of partial differential equations they are directly connected to the methods of solving of integral, difference-differential and integro-differential games, that are related to the game problems of dynamics.