Нарізно неперервні функції відносно змінного репера

Abstract

Показано, що множина D(f) точок розриву функції f:R²→R, яка неперервна у кожній точці p відносно двох змінних лінійно незалежних напрямків e₁(p) і e₂(p), є множиною першої категорії; якщо ж f ще й диференційовна відносно одного з напрямків, то D(f) — ніде не щільна.

We show that the set D(f) of discontinuity points of a function f : R² → R continuous at every point p with respect to two variable linearly independent directions e₁(p) and e₂(p) is a set of the first category. Furthermore, if f is differentiable along one of directions, then D(f) is a nowhere dense set.