C2 Property of Column Finite Matrix Rings

Abstract

A ring R is called a right C2 ring if any right ideal of R isomorphic to a direct summand of RR is also a direct summand. The ring R is called a right C3 ring if any sum of two independent summands of R is also a direct summand. It is well known that a right C2 ring must be a right C3 ring but the converse assertion is not true. The ring R is called J -regular if R/J(R) is von Neumann regular, where J(R) is the Jacobson radical of R. Let N be the set of natural numbers and let Λ be any infinite set. The following assertions are proved to be equivalent for a ring R: (1) CFMFMN(R) is a right C2 ring; (2) CFMFMΛ(R) is a right C2 ring; (3) CFMFMN(R) is a right C3 ring; (4) CFMFMΛ(R) is a right C3 ring; (5) CFMFMN(R) is a J -regular ring and Mn(R) is a right C2 (or right C3) ring for all integers n≥1.

Кільце R називається правим C2 кільцем, якщо будь-який правий ідеал R, що є ізоморФним до прямого доданка в RR, також є прямим доданком. Кільце R називається правим C3 кільцем, якщо будь-яка сума двох незалежних доданків в RR також є прямим доданком. Відомо, що праве C2 кільце має бути правим C3 кільцем, але прoтилежне твердження є невірним. Кільце R називається J -регулярним, якщо R/J(R) є регулярним у сенсі фон Ноймана, де J(R) — радикал Якобсона для R. Нехай N — множина натуральних чисел, а Λ — деяка нескінченна множина. Доведено, що наступні твердження є еквівалентними для кільця R: (1) CFMFMN(R) — праве C2 кільце; (2) CFMFMΛ(R) — праве C2 кільце; (3) CFMFMN(R) — праве C3 кільце; (4) CFMFMΛ(R) — праве C3 кільце; (5) CFMFMN(R) — J-регулярне кільце, а Mn(R) — праве C2 (або праве C3) кільце для всіх цілих n > 1.