Various Types of Convergence of Sequences of Subharmonic Functions

Abstract

Let υn(x) be a sequence of subharmonic functions in a domain G is subset of Rm. The conditions under which the convergence of υn(x), as a sequence of generalized functions, implies its convergence in the Lebesgue spaces Lp(γ) are studied. The results similar to ours have been obtained earlier by Hörmander and also by Ghisin and Chouigui. Hörmander investigated the case where the measure γ is some restriction of the m-dimensional Lebesgue measure. Grishin and Chouigui considered the case m = 2. In this paper we consider the case m > 2 and general measures γ.

Пусть υn(x) - последовательность субгармонических функций в области G. Изучены условия, при которых из сходимости последовательности υn(x), как последовательности обобщенных функций, следует ее сходимость в пространствах Лебега Lp(γ). Наиболее близкие к нашим результатам были получены ранее в работах Хёрмандера, а также Гришина и Шуиги. В работе Хёрмандера исследован случай, когда γ - некоторое ограничение m-мерной меры Лебега, а в работе Гришина и Шуиги рассмотрен случай m = 2. В статье рассмотрен случай m > 2 и общей меры γ.

Нехай υn(x) — послідовність субгармонічних функцій в області G. Вивчено умови, при яких зі збіжності послідовності υn(x), як послідовності узагальнених функцій, випливає її збіжність у просторах Лебега Lp(γ). Найбільш близькі до наших результати було отримано раніше у роботах Хермандера, а також Гришина і Шуігі. В роботі Хермандера досліджено випадок, коли γ — деяке обмеження m-мірної міри Лебега, а в роботі Гришина і Шуігі розглянуто ви-падок m = 2. В статті розглянуто випадок m > 2 і загальної міри γ.