Асимптотичне розвинення розв'язку лінійної параболічної крайової задачі в тонкому зіркоподібному з'єднанні

Abstract

Рассмотрена линейная параболическая краевая задача в трехмерном тонком звездообразном соединении, которое состоит из конечного числа тонких криволинейных цилиндров, соединенных через некоторую область (узел) диаметра O(ε). Разработана процедура для построения полного асимптотического разложения решения при ε → 0, т. е. когда звездообразное соединение трансформируется в граф. С помощью метода согласования асимптотических рядов выведена предельная задача (ε = 0) на графе с соответствующими условиями сопряжения типа Кирхгофа в вершине. Также доказаны соответствующие асимптотические оценки, которые дают возможность проследить влияние геометрической формы узла и физических процессов в нем на глобальное асимптотическое поведение решения.

A linear parabolic boundary-value problem is considered in a thin 3D star-shaped junction that consist of a finite number of thin curvilinear cylinders that are joined through a domain (node) of diameter O(ε). A procedure for constructing a complete asymptotic expansion of the solution as ε → 0, i.e., when the starshaped junction transforms into a graph is developed. Using the method of matching asymptotic series, the limit problem (ε = 0) on a graph with corresponding Kirchhoff transmission conditions at the vertex is derived. Asymptotic estimates that show the impact of the geometrical shape of the node and physical processes in the node on the global asymptotic behavior of the solution is proved as well.