On the boundary behavior of conjugate harmonic functions

Abstract

It is proved that if a harmonic function u on the unit disk D in C has angular limits on a measurable set E of the unit circle, then its conjugate harmonic function v in D also has (finite !) angular limits a.e. on E and both boundary functions are measurable on E. The result is extended to arbitrary Jordan domains with rectifiable boundaries in terms of angular limits and of the natural parameter. This result is essentially based on the Fatou theorem on angular limits of bounded analytic functions and on the construction of Luzin and Priwalow to their uniqueness theorem for analytic and meromorphic functions. The result will have interesting applications to the study of the various Stieltjes integrals in the theory of harmonic and analytic functions and, in particular, of the Hilbert–Stieltjes inyegral.

Доказывается, что если гармоническая функция u, заданная в единичном круге D комплексной плоскости C, имеет угловые пределы на измеримом множестве E единичной окружности, то ее сопряженная гармоническая функция v в D также имеет угловые пределы п.в. на E и обе граничные функции п.в. конечны и измеримы на E. Затем этот результат распространяется на произвольные жордановы области со спрямляемыми границами в терминах угловых пределов относительно естественного параметра. Результат существенно основывается на теореме Фату об угловых пределах ограниченных аналитических функций и конструкции Лузина и Привалова к их теореме единственности для аналитических и мероморфных функций. Результат будет иметь интересные приложения к изучению различных интегралов Стилтьеса в теории гармонических и аналитических функций и, в частности, интеграла Гильберта–Стилтьеса.

Доводиться, що якщо гармонiйна функцiя u, що задана в одиничному колi D комплексної площинi C, має кутовi межi на вимiрної множинi E одиничного кола, то її сполучена гармонiйна функцiя v в D також має кутовi межi п.в. на E i обидвi граничнi функцiї п.в. кiнцевi та вимiрнi на E. Потiм цей результат поширюється на довiльнi жорданова областi з границями, що спрямляються в термiнах кутових меж щодо природного параметра. Результат iстотно ґрунтується на теоремi Фату про кутовi межи обмежених аналiтичних функцiй та конструкцiї Лузiна i Привалова до їх теоремi єдиностi для аналiтичних i мероморфних функцiй. Результат буде мати цiкавi додатки до вивчення рiзних iнтегралiв Стiлтьєса в теорiї гармонiйних i аналiтичних функцiй i, зокрема, iнтеграла Гiльберта–Стiлтьєса.