Асимптотические свойства траекторий нелинейной системы в случае резонанса четвертого порядка

Abstract

Изучено поведение решений нелинейной системы при t → +∞ в критическом случае при условии, что асимптотическая устойчивость обеспечивается членами не выше третьего порядка. Предпологается, что система имеет частоты, удовлетворяющие резонансному соотношению типа 1:1:2 либо 1:1:1:1, при этом другие резонансы вплоть до четвертого порядка отсутствуют. В случае существования знакоопределенного первого интеграла резонансной подсистемы предложены достаточные условия асимптотической устойчивости и построена функция Ляпунова. Основным результатом является степенная оценка нормы решений исходной системы с начальными условиями из некоторой окрестности нуля. В качестве иллюстрации рассмотрен пример механической системы с четырьмя степенями свободы.

У статтi дослiджується поводження розв’язкiв нелiнiйної системи при t → +∞ критичному випадку, якщо асимптотична стiйкiсть забезпечується членами не вище третього порядку. Припускається, що система має частоти, якi задовольняють резонансне спiввiдношення типу 1 : 1 : 2 або 1 : 1 : 1 : 1, при цьому iншi резонанси до четвертого порядку включно вiдсутнi. У випадку iснування знаковизначеного першого iнтеграла запропоновано достатнi умови асимптотичної стiйкостi i побудовано функцiю Ляпунова. Основним результатом статтi є степенева оцiнка норми розв’язкiв системи з початковими умовами iз деякого околу нуля. Як iлюстрацiю розглянуто приклад механiчної системи з чотирма степенями вiльностi.

This paper is devoted to the study of the behavior of solutions of a nonlinear system as t → +∞ in a critical case, under the assumption that the stability is ensured by third order forms. It is supposed that the system has frequencies satisfying the resonance relation of form 1 : 1 : 2 or 1 : 1 : 1 : 1, and there are no other resonances up to the fourth order. In a case when the resonance subsystem has a sign-definite first integral, sufficient conditions for the asymptotic stability are proposed, and a Lyapunov function is obtained. The main result of the paper is a power estimate for the solutions with initial conditions from a neighborhood of the origin. As an illustration, we consider an example of a mechanical system with four degrees of freedom.