On boundary value problems in domains without (A)-condition

Abstract

We study the Hilbert boundaryvalue problem for the Beltrami equations in the Jordan domains satisfying the quasihyperbolic boundary condition by Gehring—Martio, generally speaking, without the standard (A)condition by Ladyzhenskaya—Ural'tseva. Assuming that the coefficients of the problem are functions of countable bounded variation and the boundary data are measurable with respect to the logarithmic capacity, we prove the existence of its solutions. As consequences, we derive the existence of nonclassical solutions of the Dirichlet, Neumann and Poincaré boundaryvalue problems for generalizations of the Laplace equation in anisotropic and inhomogeneous media.

Вивчено крайову задачу Гільберта для рівнянь Бельтрамі в жорданових областях, які задовольняють квазігіперболічну крайову умову Герінга Мартіо, взагалі кажучи, без стандартної (А) умови Ладиженської-Уральцевої. З припущенням, що коефіцієнти задачі є функціями зліченно обмеженої варіації і граничні дані є вимірними відносно логарифмічної ємності, доведено існування розв'язків цієї задачі. Як наслідки отримано існування некласичних розв'язків крайових задач Діріхле, Неймана і Пуанкаре для узагальнень рівняння Лапласа в анізотропних і неоднорідних середовищах.

Изучена краевая задача Гильберта для уравнений Бельтрами в жордановых областях, удовлетворяющих квазигиперболическому краевому условию Геринга Мартио, вообще говоря, без стандартного (А) условия Ладыженской-Уральцевой. С предположением, что коэффициенты задачи являются функциями счетно-ограниченной вариации, а граничные данные измеримы относительно логарифмической емкости, доказано существование решений этой задачи. В качестве следствий получено существование неклассических решений краевых задач Дирихле, Неймана и Пуанкаре для обобщений уравнения Лапласа в анизотропных и неоднородных средах.