Экстремальные задачи теории емкостей конденсаторов в локально компактных пространствах. I

Abstract

Стаття розпочинає цикл робіт, присвячених побудові теорії k-ємностей конденсаторів в локально компактному просторі X (тут k:X×X→(−∞,+∞] —иапівиеперервиа знизу функція) . Конденсатори трактуються в певному узагальненому сенсі. Досліджується відповідна задача про мінімум енергії па досить загальних класах нормованих зпакозмішшх мір Радона. Отримано опис потенціалів мінімальних мір, виділено їх характеристичні властивості, вивчено питання єдипості. (Наступні дві частини роботи присвячено проблемі існування мінімальних мір у некомпактному випадку та розробці відповідних підходів і методів.) Як допоміжний результат досліджено неперервність відображення (x,μ)↦∫κ(x,y)dμ(y),(x,μ)∈X×M+(X), де M+—конус додатних мір в X, наділений топологією слабкої збіжності.

The present paper is the first part of a work devoted to the development of the theory of κ-capacities of condensers in a locally compact space X; here, κ: X × X → (−∞, +∞] is a lower-semicontinuous function. Condensers are understood in a generalized sense. We investigate the corresponding problem on the minimum of energy on fairly general classes of normalized signed Radon measures. We describe potentials of minimal measures, establish their characteristic properties, and study the uniqueness problem. (The subsequent two parts of this work are devoted to the problem of existence of minimal measures in the noncompact case and to the development of the corresponding approaches and methods.) As an auxiliary result, we investigate the continuity of the mapping (x,μ)↦∫κ(x,y)dμ(y),(x,μ)∈X×M+(X), where M+ is the cone of positive measures in X equipped with the topology of vague convergence.