О стохастическом оптимальном управлении процессами риска в дискретном времени

Abstract

Досліджується двокритерійна задача стохастичного оптимального керування дивідендною політикою страхової компанії з показниками прибутковості і ризику. Еволюція капіталу компанії моделюється стохастичним процесом ризику в дискретному часі з відрахуванням дивідендів. Як показник прибутковості використовуються середні сумарні дисконтовані дивіденди, а як показник ризику — позиковий капітал, необхідний для запобігання розоренню, а також імовірність досягнення від’ємних значень капіталу. Задача зводиться до однокритерійної за допомогою штрафних функцій ризику. Для знаходження оптимальних керувань обґрунтовано метод динамічного програмування. Рівняння оптимальності Беллмана розв’язується методом послідовних наближень, який в розглянутому випадку має експоненціальну швидкість рівномірної збіжності.

We study a stochastic optimal control problem to find an insurance company dividend policy accounting for return and risk indicators. The evolution of the company’s capital is modeled by a stochastic risk process in discrete time with subtraction of dividends. As a measure of profitability average total discounted dividends are used, and as an indicator of risk, borrowed capital necessary to prevent ruin, as well as the probability of negative capital values. The problem is reduced to a single-criterion one using penalty risk functions. To find the optimal control the dynamic programming method is justified. Bellman optimality equations are solved by successive approximations, which in this case have an exponential rate of uniform convergence.