Relatively thin and sparse subsets of groups

Abstract

Let G be a group with identity e and let I be a left-invariant ideal in the Boolean algebra PG of all subsets of G. A subset A of G is called I-thin if gA⋂A∈I for every g∈G {e}. A subset A of G is called I-sparse if, for every infinite subset S of G, there exists a finite subset F⊂S such that ⋂g∈FgA∈F. An ideal I is said to be thin-complete (sparse-complete) if every I-thin (I-sparse) subset of G belongs to I. We define and describe the thin-completion and the sparse-completion of an ideal in PG.Припустимо, що G — група з одиницею e, I — iнварiантний злiва iдеал в булевiй алгебрi PG всiх пiдмножин групи G. Пiдмножина A групи G називається I-тонкою, якщо gA⋂A∈I для кожного g∈G {e}. Пiдмножина A групи G називається P-розрiдженою, якщо для кожної нескiнченної множини S групи G iснує скiнченна пiдмножина F⊂S така, що ⋂g∈FgA∈F. Говорять, що iдеал I тонко-повний (розрiджено-повний), якщо кожна I-тонка (I-розрiджена) множина групи G належить I. Визначено та описано тонке та розрiджене доповнення iдеалу в PG.