Найкращі наближення голоморфними функціями. Застосування до найкращих многочленних наближень класів голоморфних функцій

Abstract

Установлены необходимые и достаточные условия, при которых действительнозначная функция из Lp(T),1≤p<∞, является плохо приближаемой подпространством Гарди H⁰p:={f∈Hp:F(0)=0}. В ряде случаев найдены точные значения наилучших приближений в среднем функций, голоморфных в круге единичного радиуса, функциями, являющимися голоморфными вне этого круга. Полученные результаты применены к нахождению точных значений величин наилучших многочленных приближений и га-поперечников некоторых классов голоморфных функций. Установлены необходимые и достаточные условия, при которых выполняется обобщенное неравенство Бернштейна для алгебраических многочленов на единичной окружности.

We find necessary and sufficient conditions under which a real function from Lp(T),1≤p<∞, is badly approximable by the Hardy subspace H⁰p:={f∈Hp:F(0)=0}. In a number of cases, we obtain exact values for the best approximations in the mean of functions holomorphic in the unit disk by functions that are holomorphic outside the unit disk. We use obtained results in determining exact values of the best polynomial approximations and га-widths of some classes of holomorphic functions. We find necessary and sufficient conditions under which the generalized Bernstein inequality for algebraic polynomials on the unit circle is true.