Условия устойчивости нелинейных динамических систем с монотонной мерой на фазовом потоке

Abstract

В работе рассмотрена задача о притяжении траекторий динамической системы к положению равновесия для почти всех начальных условий. Для исследования притягивающего множества динамической системы использована мера в фазовом пространстве, обладающая свойством монотонности на потоке. Найдены достаточные условия притяжения решений без предположения о строгой положительности дивергенции функции плотности. Этот результат распространяет подход А. Рантцера на случай абстрактных динамических систем в метрическом пространстве. С помощью построения функции плотности в явном виде исследована модельная система нелинейных дифференциальных уравнений.

У роботі розглянуто задачу про притягання траєкторій динамічних систем до стану рівноваги для майже всіх початкових умов. Для дослідження притягальної множини динамічної системи використано міру в фазовому просторі, що має властивість монотонності на потоці. Знайдено достатні умови притягання розв'язків без припущення щодо строгої позитивності дивергенції функції щільності. Цей результат поширює підхід А. Рантцера на випадок абстрактних динамічних систем у метричному просторі. За допомогою побудови функції щільності в явному вигляді досліджено модельну систему нелінійних диференціальних рівнянь.

In this paper, the problem of attraction of the trajectories to an equilibrium of a dynamical system is considered for almost all initial conditions. A measure with the monotonicity property on the phase flow is used for the investigation of the attractive set. Sufficient conditions for the attraction of the solutions are obtained without assuming that the divergence of the density function is strictly positive. This result extends A. Ranter’s approach for the case of abstract dynamical systems in a metric space. A model system of nonlinear differential equations is studied by means of an explicit construction of the density function.