Special Warped-Like Product Manifolds with (Weak) G₂ Holonomy

Abstract

By using fiber-base decomposition of the manifolds, the definition of warped-like product is considered as a generalization of multiply-warped product manifolds, by allowing the fiber metric to be not block diagonal. We consider (3 + 3 + 1) decomposition of 7-dimensional warped-like product manifolds, which is called a special warped-like product of the form M = F × B, where the base B is a one-dimensional Riemannian manifold and the fibre F is of the form F = F₁ × F₂ where Fi, i = 1, 2, are Riemannian 3-manifolds. If all fibers are complete, connected, and simply connected, then the fibers are isometric to S³ with constant curvature k > 0 in the class of special warped-like product metrics admitting the (weak) G₂ holonomy determined by the fundamental 3-form.

З використанням волоконних розкладiв многовидiв розглянуто визначення спотвореного добутку як узагальнення багаторазово спотворених добуткiв многовидiв, при цьому волоконна метрика може не бути блочно-дiагональною. Вивчено (3 + 3 + 1) розклади 7-вимiрних спотворених добуткiв многовидiв, що називаються спецiальними спотво- реними виду M = F × B, де база B — одновимiрний рiманiв многовид, а волокно F має фому F = F₁ × F₂, де Fi, i = 1, 2, — рiмановi 3-многовиди. Якщо всi волокна є повними i однозв’язними, то вони є iзометричними до S³ зi сталою кривиною k > 0 у класi спецiальних спотворених метрик добутку, що допускають (слабку) G₂ голономiю, визначену фундаментальною 3-формою.