On Supplement Submodules

Abstract

We investigate some properties of supplement submodules. Some relations between lying-above and weak supplement submodules are also studied. Let V be a supplement of a submodule U in M. Then it is possible to define a bijective map between the maximal submodules of V and the maximal submodules of M that contain U. Let M be an R-module, U ≤ M, let V be a weak supplement of U, and let K ≤ V. In this case, K is a weak supplement of U if and only if V lies above K in M. We prove that an R-module M is amply supplemented if and only if every submodule of M lies above a supplement in M. We also prove that M is semisimple if and only if every submodule of M is a supplement in M.

Дослiджено деякi властивостi доповнюючих пiдмодулiв. Також вивчено деякi спiввiдношення мiж вищерозмiщеними та слабкими доповнюючими пiдмодулями. Нехай V— доповнення пiдмодуляUвM.Тодi можна означити бiєкцiю мiж максимальними пiдмодулями V та максимальними пiдмодулямиM, що мiстятьU.НехайM—R-модуль,U≤M, V— слабке доповненняU i K≤V. У цьому випадку K є слабким доповненням U тодi i тiльки тодi, коли V лежить вище K у M.Доведено, що R-модуль M є достатньо доповненим тодi i тiльки тодi, коли кожен пiдмодуль модуля M лежить вище доповнення в M.Також доведено, що M є напiвпростим тодi i тiльки тодi, коли кожен пiдмодуль модуля M є доповненням у M.