Вагові оцінки точності методу перетворення Келі для абстрактних крайових задач у банаховому просторі

Abstract

Досліджено першу крайову задачу для лінійних диференціальних рівнянь другого порядку із сильно позитивним операторним коефіцієнтом у банаховому просторі. Одержано зображення точних розв'язків відповідних крайових задач у вигляді рядів, для чого було використано перетворення Келі операторного коефіцієнта, поліноми Майкснера від незалежної змінної та розклад у ряд Фур'є правої частини рівняння. За наближений метод узято N-ту частинну суму кожного ряду (N — параметри дискретизації). Одержано вагові апріорні оцінки точності методу, які враховують крайовий ефект. Ці оцінки свідчать про те, що залежно від гладкості вхідних даних метод має або степеневу, або експоненціальну швидкість збіжності.

We study the first BVP for linear second-order differential equations with a strongly positive operator coefficient in a Banach space. The exact solutions of these BVPs are represented in the form of infinite series by means of the Cayley transform of the operator coefficient, the Meixner-type polynomials in the independent variable, and the Fourier series representation of the right-hand side of the equation. The approximate solution of each problem is a partial sum of the corresponding series (with the discretization parameter N). We prove the weighted accuracy estimates taking the boundary effect into account. These estimates demonstrate that the proposed methods have the power rate of convergence or the exponential rate of convergence in accordance with the smoothness properties of the input data.

Исследована первая краевая задача для линейных дифференциальных уравнений второго порядка с сильно позитивным операторным коэффициентом в банаховом пространстве. Получено представление точных решений соответсвующих краевых задач в виде рядов, для чего было использовано преобразование Кэли операторного коэффициента, полиномы Майкснера от независимой переменной и разложение в ряд Фурье правой части уравнения. В качестве приближенного метода взята N-я частичная сумма каждого ряда (N — параметр дискретизации). Доказаны весовые априорные оценки точности метода, учитывающие краевой эффект. Эти оценки показывают, что в зависимости от гладкости исходных данных метод имеет степенную или экспоненциальную скорость сходимости.