Групи ізометрій розширеного простору Хеммінга та нескінченновимірного гіперкуба

Abstract

Розглянуто конструкцiю розширеного простору Хеммiнга — простору нескiнченних послiдовностей над деяким скiнченним алфавiтом, вiдстань мiж двома послiдовностями в якому обчислюється як число їх попарно рiзних координат (у випадку, коли воно скiнченне) i дорiвнює ∞, якщо таких координат нескiнченна кiлькiсть. Введеному простору взаємно однозначно вiдповiдає незв’язний граф — нескiнченновимiрний гiперкуб. Охарактеризовано групу iзометрiй розширеного простору Хеммiнга в термiнах вiнцевих добуткiв, а отже, й групу автоморфiзмiв нескiнченновимiрного гiперкуба.

Введена в рассмотрение конструкция расширенного пространства Хемминга — пространства бесконечных последовательностей над некоторым конечным алфавитом, расстояние между двумя последовательностями в котором определяется как количество различных координат (в случае, когда оно конечно) и равно ∞, если таких координат бесконечное количество. Введенному пространству взаимно однозначно соответствует несвязный граф — бесконечномерный гиперкуб. Приведено полное описание группы изометрий расширенного пространства Хемминга в терминах сплетений, а следовательно, и группы автоморфизмов бесконечномерного гиперкуба.

The construction of an extended Hamming space defined on the infinite sequences over some finite alphabet is considered. The distance between such sequences is the number of different coordinates in the case where this number is finite or ∞ otherwise. This space corresponds to a disconnected graph called the infinite-dimensional hypercube. The isometry group of the extended Hamming space is completely described. As a corollary, the automorphism group of the infinite-dimensional hypercube is calculated.