Исследование колебательности процессов непрерывных систем, порождаемых фактором кратности собственных чисел их матриц состояния

Abstract

Досліджуються стійкі безперервні системи, матриця стану яких має спектри кратних власних чисел. Задача вирішується при кратності власних чисел, рівній розмірності вектора стану, причому спочатку розглядається випадок дійсних власних чисел, а потім — випадок комплексно-спряжених. Показано, якщо модуль дійсного власного числа менший за одиницю, то в траєкторіях вільного руху системи за нормою її вектора стану спостерігається викид, що змінювався монотонною збіжністю траєкторії до нуля. Встановлено, що величина викиду тим більша, чим менший модуль дійсного власного числа і більша його кратність. Якщо матриця стану безперервної системи має спектр комплексно-спряжених власних чисел, то при значенні дійсної частини комплексно-спряженого власного числа, меншого за одиницю, як і у випадку дійсного спектра власних чисел, спостерігаються викиди траєкторій, величина яких тим більша, чим менший його модуль і більша його кратність.

The stable continuous systems with multiple eigenvalues of state matrices are considered. The multiplicity of the eigenvalues equals to dimension of state vector of the system. There is studied the motion of an autonomous system in the norm of state vector for the cases with multiple real and complex conjugate eigenvalues. It was shown that if the modulus of the real eigenvalue is less than one, then in the trajectories of the system free motion on the norm of the state vector there is observed a deflection, alternating monotone convergence of the trajectory to zero. It was found that the magnitude of deflection of the trajectories from monotone development increases with the approach of multiple eigenvalue to zero and increases in its multiplicity.