Скінченно-елементна реалізація методу розв’язування двовимірних задач поляризаційно-оптичної томографії напружень

Abstract

У статті розроблений раніше варіаційний підхід до розв’язування обернених задач поляризаційно-оптичної томографії напружено-деформованого стану твердих тіл реалізовано з використанням методу скінченних елементів. Підхід базується на трьох складових: математичній моделі напружено-деформованого стану, який потрібно відновити, системі променевих поляризаційно-оптичних інтегралів, що пов’язують розподіли компонент тензора напружень на напрямку зондування з вимірюваними на цьому напрямку поляризаційно-оптичними параметрами та результатах вимірювання значень цих параметрів на деякій множині променів, що перетинають об’єкт дослідження. Ідея запропонованого методу полягає у застосуванні скінченно-елементних аналогів для моделі напружено-деформованого стану й для системи променевих інтегралів і формуванні на цій основі з використанням даних фізичних вимірювань перевизначеної системи лінійних алгебраїчних рівнянь стосовно вузлових переміщень. Результати проведених числових експериментів підтвердили ефективність запропонованого методу та дозволили оцінити параметри сітки скінченних елементів і об’єми даних фізичних вимірювань, достатніх для відтворення поля напружень із необхідною точністю.

A finite-element method for solving of inverse problem of polarization-optical tomography of stress fields in solids has been developed. The approach is based on the three components: (1) a mathematical model for stressed-strained state, (2) ray polarization-optical integrals, which connect the distributions of stress tensor components on sounding direction with measured on this direction polarization-optical parameters and (3) data of these parameters values measuring on some set of directions crossing the object. The idea is to apply a finite-element approximations for the model of stressed-strained state and for the system of ray integrals. On this basis, using the data of polarization-optical measuring, a redefined system of linear algebraic equations for the nodal displacements is formed. The system is solved using the least-squares method. To test the method and estimate influences of the finite-element model parameters, scheme of scanning and completeness of input data on the inverse problem numerical solutions a 2-D problem for rectangular domain has been studied.

В статье разработанный ранее вариационный подход к решению обратных задач поляризационно-оптической томографии напряженно-деформированного состояния твердых тел реализован с использованием метода конечных элементов. Подход применяется, в частности, к задачам определения напряженно-деформированного состояния объектов, для которых отсутствует полная априорная информация относительно внешних нагрузок, необходимая для формулировки корректных прямых задач теории упругости. Чтобы компенсировать нехватку априорной информации используются данные измерений, полученные с применением метода фотоупругости. Реализация подхода базируется на трех составляющих: математической модели напряженно-деформированного состояния, подлежащего восстановлению, системы лучевых поляризационно-оптических интегралов, и результатов измерения значений лучевых интегралов на некотором множестве направлений, пересекающих объект исследования. Идея предложенного метода заключается в применении конечно-элементных аналогов для модели напряженно-деформированного состояния и для системы лучевых интегралов и формировании на этой основе с использованием данных физических измерений переопределенной системы линейных алгебраических уравнений относительно узловых перемещений, которая решается с применением метода наименьших квадратов. Проведен численный анализ двухмерных задач для тела прямоугольной формы, нагруженного по одной из сторон самоуравновешенными силами. Полученные результаты численных экспериментов подтвердили эффективность предложенного метода и позволили оценить параметры сетки конечных элементов и объемы данных физических измерение, достаточных для восстановления поля напряжений с необходимой точностью.