Компьютерное моделирование на основе уравнений типа Гамильтона нелиненйных колебаний жидкости в прямоугольном баке

Abstract

Рассматриваются нелинейные системы обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в динамике относительного движения идеальной однородной несжимаемой жидкости в связи с вариационным методом Бейтмена - Люка - Уизема и имеющих структурное сходство с уравнениями Гамильтона. Анализируются свойства этих систем уравнений и известный способ их приближенного решения путем исключения квазискоростей жидкости и сведения к некоторой системе уравнений второго порядка относительно координат свободной поверхности. Для случая прямоугольного сосуда, частично заполненного жидкостью, развивается альтернативный подход, основанный на идее непосредственного интегрирования точных исходных уравнений методом Рунге - Кутта. Разработан алгоритм численного решения этих уравнений, возможности которого демонстрируются на задаче о нелинейных свободных колебаниях жидкости в наклоненном прямоугольном сосуде после его разгона.

Розглядаються нелiнiйнi системи звичайних iнтегро-диференцiальних рiвнянь, що виникають у динамiцi вiдносного руху iдеальної однорiдної нестисливої рiдини у зв'язку iз варiацiйним методом Бейтмена - Люка - Уiзема та структурно подiбнi до рiвнянь Гамiльтона. Аналiзуються властивостi цих систем рiвнянь та вiдомий спосiб їх наближеного розв'язування шляхом виключення квазiшвидкостей рiдини i зведення до деякої системи рiвнянь другого порядку вiдносно координат вiльної поверхнi. На випадок прямокутної посудини, частково заповненої рiдиною, розвивається альтернативний пiдхiд, що базується на iдеї безпосереднього iнтегрування точних вихiдних рiвнянь методом Рунге - Кутта. Розроблено алгоритм чисельного розв'язування цих рiвнянь, можливостi якого демонструються на задачi про нелiнiйнi вiльнi коливання рiдини у нахиленiй прямокутнiй порожнинi пiсля її розгону.

The nonlinear systems of the ordinary integro-differential equations arising in dynamics of the relative motions of an inviscid homogeneous incompressible liquid with respect to the variational method by Bateman - Luke - Whitham and having a structural similarity to the Hamiltonian equations are considered. The properties of this systems of equations and the known method of their solution by means of the elimination of the liquid quasivelocities and the reduction to a certain systems of the second order equations relative to the liquid coordinates are analyzed. In the case of a rectangular tank partially filled with a liquid it is developed the alternative approach that bases on an idea of the direct integration of the exact equations by means of the Runge - Kutta method. It is proposed an algorithm of the numerical solution of the initial exact equations the capabilities of which are demonstrated in the problem of the liquid nonlinear free oscillations in the inclined rectangular tank after its acceleration.