On strongly ⊕-supplemented modules

Abstract

In this work, strongly ⊕-supplemented and strongly cofinitely ⊕-supplemented modules are defined and some properties of strongly ⊕-supplemented and strongly cofinitely ⊕-supplemented modules are investigated. Let R be a ring. Then every R-module is strongly ⊕-supplemented if and only if R is perfect. Finite direct sum of ⊕-supplemented modules is ⊕-supplemented. But this is not true for strongly ⊕-supplemented modules. Any direct sum of cofinitely ⊕-supplemented modules is cofinitely ⊕-supplemented but this is not true for strongly cofinitely ⊕-supplemented modules. We also prove that a supplemented module is strongly ⊕-supplemented if and only if every supplement submodule lies above a direct summand.

Визначено сильно ⊕-доповненi та сильно кофiнiтно ⊕-доповненi модулi i дослiджено деякi властивостi сильно ⊕-доповнених та сильно кофiнiтно ⊕-доповнених модулiв. Припустимо, що R — кiльце. У цьому випадку кожен R-модуль є сильно ⊕-доповненим тодi i тiльки тодi, коли R є досконалим. Скiнченна пряма сума ⊕-доповнених модулiв є ⊕-доповненою. Але це не справджується для сильно ⊕-доповнених модулiв. Будь-яка пряма сума кофiнiтно ⊕-доповнених модулiв є кофiнiтно ⊕-доповненою, але це не справджується для сильно кофiнiтно ⊕-доповнених модулiв. Доведено також, що доповнений модуль є сильно ⊕-доповненим модулем тодi i тiльки тодi, коли кожен пiдмодуль-доповнення розташований над прямим доданком.