Развитие и приложение метода Коши–Пуассона в эластодинамике слоя и уравнение Тимошенко

Abstract

Рассмотрено обобщение метода Коши–Пуассона на n-мерное евклидово пространство и его приложение к построению гиперболических аппроксимаций высокого порядка. В евклидовом пространстве введены ограничения на производные. Рассмотрено гиперболическое вырождение по параметрам и приведена его реализация в виде необходимых и достаточных условий. В качестве частного случая четырехмерного евклидова пространства с сохранением операторов до шестого порядка получено обобщенное гиперболическое уравнение поперечных колебаний пластин с коэффициентами, зависящими только от числа Пуассона. Это уравнение включает как частные случаи все известные уравнения Бернулли–Эйлера, Кирхгофа, Релея, Тимошенко. Отмечено нетривиальное построение Тимошенко уравнения изгибных колебаний балки и соответствие с теорией Коссера как развития исследований Максвелла и Эйнштейна о распространении возмущений с конечной скоростью в сплошной среде.

Розглянуто узагальнення методу Коші–Пуасона на n-вимірний евклідів простір і його застосування до побудови гіперболічних апроксимацій високого порядку. В евклідовому просторі введено обмеження на похідні. Розглянуто гіперболічное виродження за параметрами і наведено його реалізацію у вигляді необхідних і достатніх умов. Як окремий випадок чотиривимірного евклідового простору зі збереженням операторів до шостого порядку отримано узагальнене гіперболічне рівняння поперпчних коливань пластин з коефіцієнтами, залежними тільки від числа Пуасона. Це рівняння включає як окремі випадки всі відомі рівняння Бернулі–Ейлера, Кірхгофа, Релея, Тимошенка. Відзначено нетривіальну побудову рівняння Тимошенка згинних коливань балки як розвиток досліджень Максвела і Ейнштейна про поширення збурень із скінченною швидкістю в суцільному середовищі та відповідність до теорії Косера.

We consider a generalization of the Cauchy–Poisson method to an n-dimensional Euclidean space and its application to the construction of hyperbolic approximations. In Euclidean space, constraints on derivatives are introduced. The principle of hyperbolic degeneracy in terms of parameters is formulated and its implementation in the form of necessary and sufficient conditions is given. As a particular case of a 4-dimensional space with preserving operators up to the 6th order and dimensioning, a generalized hyperbolic equation is obtained for bending vibrations of plates with coefficients depending only on the Poisson number. As special cases, this equation includes all the well-known equations of Bernoulli–Euler, Kirchhoff, Rayleigh, and Timoshenko. As a development of Maxwell’s and Einstein’s research on the propagation of perturbations with finite velocity in a continuous medium, the Tymoshenko’s non-trivial construction of the equation for bending vibrations of a beam is noted.