О модифицированном сильном двоичном интеграле и производной

Abstract

Для функцій f∈L(R₊) визначено модифікований сильний двійковий інтеграл J(f)∈L(R₊) та модифіковану сильну двійкову похідну D(f)∈L(R₊). Отримано необхідну та достатню умову існування модифікованої о сильного двійкового інтеграла J(f) . За умови ∫R₊f(x)dx=0 доведено рівності J(D(f))=f та D(J(f))=f. Знайдено зліченну множину власних функцій операторів J та D. Доведено, що лінійна оболонка L цієї множини є щільною у двійковому просторі Харді H(R₊). Для функцій f∈H(R₊) означено модифікований рівномірний двійковий інтеграл J(f)∈L∞(R₊).

For functions f ∈ L(R₊), we define a modified strong dyadic integral J(f) ∈ L(R₊) and a modified strong dyadic derivative D(f) ∈ L(R₊). We establish a necessary and sufficient condition for the existence of the modified strong dyadic integral J(f). Under the condition ∫R₊f(x)dx = 0, we prove the equalities J(D(f)) = f and D(J(f)) = f. We find a countable set of eigenfunctions of the operators J and D. We prove that the linear span L of this set is dense in the dyadic Hardy space H(R₊). For the functions f ∈ H(R₊), we define a modified uniform dyadic integral J(f) ∈ L ∞(R₊).