Generalized Fokker-Planck equation and its solution for linear non-Markovian Gaussian systems

Abstract

In this paper we suggest a consistent approach to derivation of generalized Fokker-Planck equation (GFPE) for Gaussian non-Markovian processes with stationary increments. This approach allows us to construct the probability density function (PDF) without a need to solve the GFPE. We employ our method to obtain the GFPE and PDFs for free generalized Brownian motion and the one in harmonic potential for the case of power-law correlation function of the noise. We prove the fact that the considered systems may be described with Einstein-Smoluchowski equation at high viscosity levels and long times. We also compare the results with those obtained by other authors. At last, we calculate PDF of thermodynamical work in the stochastic system which consists of a particle embedded in a harmonic potential moving with constant velocity, and check the work fluctuation theorem for such a system.

У цiй роботiми пропонуємо послiдовний пiдхiд до виводу узагальненого рiвняння Фокера-Планка(УРФП) для Ґаусових немаркiвських процесiв iз стацiонарними прирощеннями.Цей пiдхiд дозволяє побудувати функцiю розподiлу (ФР) процесу без потреби безпосередньо розв’язувати УРФП. Ми застосовуємо цей метод для знаходження УРФП та ФР для вiльного узагальненого броунiвського руху та узагальненого броунiвського руху в потенцiалi для випадку степеневої кореляцiйної функцiї шуму. Ми доводимо,що розглянутi системи можуть описуватися у рамках рiвняння Ейнштейна-Смолуховського за умов сильної в’язкостi та великих часiв.Також ми порiвнюємо результати iз отриманими iншими авторами. Нарештi, ми обчислюємо ФР термодинамiчної роботи у стохастичнiй системi,що складається з частинки у гармонiчному потенцiалi,який рухається з постiйною швидкiстю,та перевiряємо флуктуацiйну теорему для роботи у такiй системi.