Еліптичні за Лавруком крайові задачі для однорідних диференціальних рівнянь

Abstract

У двобічній уточненій соболєвській шкалі досліджено еліптичні за Лавруком крайові задачі для однорідних диференціальних рівнянь. Ці задачі містять додаткові невідомі функції у крайових умовах довільних по рядків. Вказана шкала складається з гільбертових просторів Хермандера, для яких показниками регулярності служать будь-яке дійсне число і функція, повільно змінна на нескінченності за Караматою. Встановлено теореми про нетеровість досліджуваних задач в уточненій соболєвській шкалі, локальну регулярність і локальні апріорні оцінки (аж до межі області) їх узагальнених розв'язків. Знайдено достатні умови, за яких компоненти цих розв'язків є l ≥ 0 разів неперервно диференційовними функціями.

В двусторонней уточненной соболевской шкале исследованы эллиптические по Лавруку краевые задачи для однородных дифференциальных уравнений. Эти задачи содержат дополнительные неизвестные функции в краевых условиях произвольных порядков. Указанная шкала состоит из гильбертовых пространств Хермандера, для которых показателем регулярности служат произвольное действительное число и функция, медленно меняющаяся на бесконечности по Карамата. Установлены теоремы о нётеровости исследуемых задач в уточненной соболевской шкале, локальной регулярности и локальных априорных оценках (вплоть до границы области) их обобщенных решений. Найдены достаточные условия, при которых компоненты обобщенных решений будут l≥0 раз непрерывно дифференцируемыми функциями.

We investigate Lawruk elliptic boundary-value problems for homogeneous differential equations in a two-sided refined Sobolev scale. These problems contain additional unknown functions in the boundary conditions of arbitrary orders. The scale consists of inner-product Hörmander spaces whose orders of regularity are given by any real number and a function which varies slowly at infinity in the sense of Karamata. We establish theorems on the Fredholm property for the problems in the refined Sobolev scale and on local regularity and local a priori estimate (up to the boundary of the domain) of their generalized solutions. We find sufficient conditions under which components of these solutions are functions continuously differentiable l≥0 times.