Finite groups with X-quasipermutable Sylow subgroups

Abstract

Let H ≤ E and X be subgroups of a finite group G. Then we say that H is X-quasipermutable (XS-quasipermutable, respectively) in E provided that G has a subgroup B such that E = NE(H)B and H X-permutes with B and with all subgroups (with all Sylow subgroups, respectively) V of B such that (|H|, |V |) = 1. We analyze the influence of X-quasipermutable and XS-quasipermutable subgroups on the structure of G. In particular, it is proved that if every Sylow subgroup P of G is F(G)-quasipermutable in its normal closure PG in G, then G is supersoluble.

Нехай H ≤ E i X — пiдгрупи скiнченної групи G. Тодi говорять, що H є X-квазiпереставною (XS-квазiпереставною, вiдповiдно) в E, якщо G мiстить таку пiдгрупу B, що E = NE(H)B i H є X-переставною з B i з усiма пiдгрупами (з усiма силовськими пiдгрупами, вiдповiдно) V з B такими, що (|H|, |V |) = 1. У данiй роботi проаналiзовано вплив X-квазiпереставних i XS-квазiпереставних пiдгруп на будову G. Зокрема доведено, що якщо кожна Силовська пiдгрупа P iз G F(G)-квазiпереставна в його нормальному замиканнi PG в G, то G є надрозв’язною.