Про локальні майже-кільця з мультиплікативною групою Міллера - Морено

Abstract

Почти-кольцо R с единицей локально, если множество L всех его необратимых элементов является подгруппой аддитивной группы R+. Изучаются локальные почти-кольца порядка 2n, мультипликативная группа R∗, которых является группой Миллера – Морено, т. е. неабелевой группой, все собственные подгруппы которой абелевы. Доказано, в частности, что если L — подгруппа индекса 2m в R+, то либо m — простое число, для которого 2m−1 является простым числом Мерсенна, либо m=1. В первом случае n=2m, подгруппа L элементарная абелева, экспонента группы R+ не превышает 4 и порядок группы R∗ равен 2m(2m−1). Во втором случае либо n<7, либо подгруппа L абелева, а R∗— неметациклическая группа порядка 2n−1 и экспоненты не выше 2n−4.

A near-ring R with identity is local if the set L of all its noninvertible elements is a subgroup of the additive group R +. We study local near-rings of order 2n whose multiplicative group R * is a Miller–Moreno group, i.e., a non-abelian group all proper subgroups of which are abelian. In particular, it is proved that if L is a subgroup of index 2m in R +, then either m is a prime number for which 2m − 1 is a Mersenne prime or m = 1. In the first case, n = 2m, the subgroup L is elementary abelian, the exponent of R + does not exceed 4; and R * is of order 2m (2m − 1)). In the second case, either n < 7 or the subgroup L is abelian and R * is a nonmetacyclic group of order 2n−1 whose exponent does not exceed 2n−4.