О некоторых граничных свойствах интегралов Абеля–Пуассона

Abstract

При отриманні за допомогою класичних аналітичних методів аналітичного розв’язання багатьох задач прикладної математики доводиться стикатися з великими математичними труднощами, які в більшості випадків викликані величезним об’ємом необхідної інформації (параметрів) для подальшої математичної обробки. Напевно, інколи неможливо обійтися без чисельного розв’язання так званих крайових задач деяких типів рівнянь і систем рівнянь. Очевидно, що тип рівняння або системи рівнянь, які розв’язуємо, враховує особливості пос-тановки даної задачі і відповідно визначає методи і властивості її розв’язання. У випадку еліптичної задачі диференціального рівняння в частинних похідних, на її розв’язання в певній точці розглянутої області завжди впливають задані на всій межі області крайові умови. У зарубіжній і вітчизняній науковій літературі з прикладної математики є низка результатів, що стосуються вивчення апрок-симативних властивостей розв’язків класичного рівняння Лапласа як всередині одиничного кола, так і на його межі. Що стосується аналогічних досліджень у верхній координатній півплощині для зазначених вище рішень рівнянь, то тут успіхи більш помірні. Саме тому дану роботу присвячено дослідженню деяких граничних властивостей інтеграла Абеля–Пуассона, які в свою чергу є розв’язками рівнянь в частинних похідних еліптичного типу. Доведена теорема на конкретному прикладі (інтеграла Абеля–Пуассона) дає можливість харак-теризувати граничні властивості розв’язків крайових задач у плоских областях (верхній півплощині) в термінах модуля неперервності першого порядку просторів сумовних на всій числовій осі функцій. Отримані в даній роботі результати можуть бути використані при подальших дослідженнях в сучасній прикладній математиці.

When obtaining an analytical solution to many problems of applied mathematics using classical analytical methods, one encounters great mathematical difficulties. In most cases, these difficulties are caused by the huge amount of information (parameters) that is necessary for further mathematical processing. And here in some cases, it will probably be impossible not to use a numerical solution of the socalled boundary value problems of certain types of equations and systems of equations. Obviously, the type of equation or system of equations that we solve takes into account the peculiarities of formulation of this problem and, respectively, determines methods and properties of their solution. So, in the case of elliptic problem for a partial differential equation, its solution at some point of the considered domain is always influenced by the boundary conditions given on the entire boundary of the domain. In the foreign and national scientific literature on applied mathematics there is a number of results concerning the study of approximative properties of solutions of the classical Laplace equation inside the unit circle as well as on its boundary. As for similar studies in the upper coordinate half-plane, for the indicated above solutions of equations the successes were more moderate. That is why this work is devoted to the study of certain boundary properties of the Abel–Poisson integral, which in turn are solutions of the partial differential equa-tions of elliptic type. The proved theorem on a concrete example (the Abel–Poisson integral) makes it possible to characterize the boundary properties of solu-tions of boundary value problems in flat domains (in the upper half-plane) in terms of the first order modulus of continuity of the spaces of functions that are summable on the entire numerical axis. The results obtained in this paper may be in demand in further studies of the modern applied mathematics.