Условия существования периодических движений гиростата Ковалевской в двойном поле

Abstract

Изучаются особые периодические движения (критические точки ранга 1 интегрального отображения), найденные в работе М.П.Харламова (Механика твердого тела, вып. 37, 2007) в интегрируемой задаче о движении гиростата в двойном поле при условиях Ковалевской на моменты инерции. Исследованы возможные перестройки внутри множества этих решений в зависимости от существенных параметров – одного интегрального и двух физических. Получены аналитические уравнения разделяющего множества и его особенностей, указано количество возникающих областей с различным набором решений. Найден образ разделяющего множества в пространстве параметров, задающих бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях. Вычисления, связанные с преобразованиями многочленов высоких степеней, выполнены в компьютерной системе Mathematica 7.

Вивчаються особливi перiодичнi рухи (критичнi точки рангу 1 iнтегрального вiдображення), знайденi в роботi М.П.Харламова (Механiка твердого тiла, вип. 37, 2007) в iнтегровнiй задачi про рух гiростата в подвiйному полi при умовах Ковалевської на моменти iнерцiї. Дослiджено можливi перебудови усерединi множини цих розв’язкiв залежно вiд суттєвих параметрiв – одного iнтегрального i двох фiзичних. Отримано аналiтичнi рiвняння подiляючої множини та його особливостей, зазначено кiлькiсть виникаючих областей з рiзним набором розв’язкiв. Знайдено образ подiляючої множини в просторi параметрiв, що задають бiфуркацiйнi дiаграми на iзоенергетичних рiвнях. Обчислення, пов’язанi з перетвореннями багаточленiв високих степенiв, виконано в комп’ютернiй системi Mathematica 7.

Consider the integrable problem of motion of a gyrostat with the Kowalevski type inertia tensor in a double force field. We study the special periodic motions (the rank 1 critical points of the integral mapping) found by M.P. Kharlamov (Mekh. Tverd. Tela, No 37, 2007). Possible transformations inside the set of such motions depending on three essential parameters are studied. We obtain the analytical equations of the separating set and its singularities, point out the regions with different sets of motions. We find the image of the separating set in the space of parameters defining the bifurcation diagrams on iso-energetic levels. The most complicated calculations are fulfilled with the help of the computer system Mathematica 7.