Прямі та обернені задачі берівської класифікації інтегралів, залежних від параметра

Abstract

Досліджується питання про те, до яких берівських класів належать інтеграли g(y)=(If)(y)=∫Xf(x,y)dμ(x), залежні від параметра y, що пробігає топологічний простір Y, для нарізно неперерних і подібних до них функцій f і обернена задача про побудову для даної функції g, такої функції f, що g=If. Зокрема, доведено, що для компактних просторів X і Y і скінченної борелівської міри μ на X для чого, щоб існувала нарізно неперервна функція f:X×Y→R, необхідно і досить, щоб усі звуження g|Yn функції g:Y→R були неперервними для деякого замкненої о покриття {Yn:n∈N} простору Y.

We study the problem of the Baire classification of integrals g (y) = (If)(y) = ∫ Xf(x, y)dμ(x), where y is a parameter that belongs to a topological space Y and f are separately continuous functions or functions similar to them. For a given function g, we consider the inverse problem of constructing a function f such that g = If. In particular, for compact spaces X and Y and a finite Borel measure μ on X, we prove the following result: In order that there exist a separately continuous function f : X × Y → ℝ such that g = If, it is necessary and sufficient that all restrictions g| Y n of the function g: Y → ℝ be continuous for some closed covering { Y n : n ∈ ℕ} of the space Y.