Сходимость экстраградиентного алгоритма с монотонной регулировкой шага для вариационных неравенств и операторных уравнений

Abstract

В работе рассмотрены вариационные неравенства (операторные уравнения) в гильбертовом пространстве и с дополнительными условиями вида включения в множество неподвижных точек заданного оператора. Для приближенного решения задач предложен алгоритм, являющийся суперпозицией модифицированного экстраградиентного алгоритма с монотонной регулировкой величины шага, не требующей знания константы Липшица оператора, и схемы Красносельского–Манна аппроксимации неподвижных точек. В отличие от применяемых ранее правил выбора величины шага, в данном алгоритме не производится дополнительных вычислений значений оператора и отображения проектирования. Основной результат — теорема о слабой сходимости алгоритма для задач с псевдомонотонными, липшицевыми, секвенциально слабо непрерывными операторами и квазинерастягивающими операторами, задающими дополнительные условия.

Розглянуто варіаційні нерівності та операторні рівняння в нескінченновимірному гільбертовому просторі та з додатковими умовами виду включення в множину нерухомих точок заданого оператора. Для наближеного розв’язання задач запропоновано новий ітераційний алгоритм, що є суперпозицією модифікованого екстраградієнтного алгоритму Корпелевич з монотонним регулюванням величини кроку, що не вимагає знання константи Ліпшиця оператора, та схеми Красносельського–Манна апроксимації нерухомих точок. На відміну від правил вибору величини кроку, що застосовувалися раніше, в запропонованому алгоритмі не проводиться додаткових обчислень значень оператора і відображення проектування. Алгоритм досліджувався за допомогою теорії ітераційних фейєрівських процесів. Доведено слабку збіжність алгоритму для задач з псевдомонотонними, ліпшицевими, секвенційно слабко неперервними та квазінерозтягуючими операторами, що задають додаткові умови. Раніше аналогічні результати про слабку збіжність були відомі тільки для варіаційних нерівностей з монотонними, ліпшицевими та з нерозтягуючими операторами, що задають додаткові умови.

A variational inequalities and operator equations in an infinite dimensional Hilbert space with additional conditions for the type of inclusion in the set of fixed points of a given operator are considered. For an approximate solution of the problems, a novel iterative algorithm that is a superposition of a modified Korpelevich extragradient algorithm with monotone step-size strategy that does not require knowledge of the Lipschitz constant of operator, and the Krasnoselskii–Mann scheme for approximating fixed points, is proposed. In contrast to the previously used rules for choosing the step size, the proposed algorithm does not perform additional calculations for the operator values and the projections mapping. The algorithm was investigated using the theory of iterative processes of the Fejer type. The weak convergence of the algorithm for problems with pseudo-monotone, Lipschitz-continuous, and sequentially weakly continuous operators and quasi-nonexpansive operators, which specify additional conditions is proved. Previously, similar results on weak convergence were known only for variational inequalities with monotone, Lipschitz-continuous operators and with nonexpansive operators, which specify additional conditions.