Точні розв’язки узагальнених рівнянь Кортевега — де Фріза зі змінними коефіцієнтами

Abstract

Досліджено трансформаційні властивості двох класів узагальнених рівнянь Кортевега — де Фріза з коефіцієнтами, що залежать від часової змінної, а також продемонстровано ефективність методу еквівалентності для побудови точних розв’язків таких рівнянь. Зокрема, знайдено групоїди еквівалентності обох класів рівнянь і доведено, що обидва класи є нормалізованими. Знайдено критерій звідності рівнянь з одного з досліджуваних класів зі змінними коефіцієнтами до стандартного модифікованого рівняння Кортевега — де Фріза, а для другого класу рівнянь встановлено повну подібність до класичного рівняння Кортевега — де Фріза. Показано, що метод еквівалентності знаходження точних розв’язків є більш ефективним для таких класів рівнянь, ніж методи, що застосовувались іншими авторами. В результаті отримано формули для генерації точних розв’язків узагальнених рівнянь Кортевега–де Фріза зі змінними коефіцієнтами та наведено приклади побудови точних розв’язків за допомогою цих формул.

The transformational properties of two classes of generalized Korteweg-de Vries equations with coefficients dependent on the time variable are investigated, and the effectiveness of the equivalence method for constructing exact solutions of such equations is demonstrated. Specifically, the equivalence groupoids for both classes of equations are identified, and it is proven that both classes are normalized. A criterion for the reducibility of variable coefficient equations from one of the classes to the standard modified Korteweg-de Vries equation is established. For the second class of equations, full similarity to the classic Korteweg-de Vries equation is demonstrated. It is shown that the equivalence method of finding exact solutions is more effective for such classes of equations compared to methods employed by other authors. Consequently, formulas for generating exact solutions of generalized Korteweg-de Vries equations with variable coefficients are obtained, and examples of constructing exact solutions using these formulas are presented.