Inverse Scattering Theory for Schrödinger Operators with Steplike Potentials

Abstract

We study the direct and inverse scattering problem for the one-dimensional Schrödinger equation with steplike potentials. We give necessary and sufficient conditions for the scattering data to correspond to a potential with prescribed smoothness and prescribed decay to its asymptotics. Our results generalize all previous known results and are important for solving the Korteweg-de Vries equation via the inverse scattering transform.

Изучаются прямая и обратная задачи рассеяния для одномерного уравнения Шредингера с потенциалами типа ступеньки. Устанавливаются необходимые и достаточные условия на данные рассеяния, соответствующие потенциалу с заданными гладкостью и скоростью стремления к своим асимптотам. Полученные результаты обобщают все ранее известные и важны для решения задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза методом обратной задачи рассеяния.

Вивчаються пряма та обернена задачі розсіювання для одновимірного рівняння Шредінгера із потенціалами типу сходинки. Встановлюються необхідні та достатні умови на дані розсіювання, що відповідають потенціалу із заданими гладкістю та швидкістю збігання до своїх асимптот. Отримані результати узагальнюють раніше відомі та є важливими для розв'язання задачі Коші для рівняння Кортевега-де Фріза методом оберненої задачі розсіювання.