О верхних и нижних разрешающих функциях вигровых задачах динамики

Abstract

Вивчаються квазілінійні конфліктно-керовані процеси загального виду на предмет зближення траєкторій з заданою циліндричною множиною. В основу досліджень покладено метод верхніх та нижніх розв’язуючих функцій. Основну увагу приділено ситуації, коли не має місця умова Понтрягіна, до того ж тілесна частина термінальної множини не є опуклою. Запропоновано схему методу, яка дозволяє у випадку неопуклості тілесної частини зафіксувати деяку точку в ній, точку прицілювання, та реалізувати процес зближення. Отримано достатні умови для розв’язування задачі зближення для різних класів стратегій. При цьому використано стробоскопічні стратегії Хайека, що визначають керування за М.М. Красовським. Процес зближення складається з двох етапів: активного та пасивного. На активному етапі накопичується верхня розв’язуюча функція першого типу, а після моменту переключення використовується нижня розв’язуюча функція другого типу. Ці функції дають можливість побудувати вимірне керування першого гравця на основі теорем про вимірний вибір, зокрема теореми Філіпова-Кастена. Отримані результати для узагальнених квазілінійних процесів дозволяють охопити широке коло функціонально-диференціальних систем, систем з дробовими та частинними похідними. Вказано можливості для розвитку запропонованої методики.

The quasi-linear conflict-controlled processes of general form are studied. The theme for investigation is the problem of the trajectories approaching a given cylindrical set. The research is based on the method of upper and lower resolving functions. The main attention is paid to the case when Pontryagin’s condition does not hold, moreover, the bodily part of the terminal set is non-convex. A scheme of the method is proposed, which allows, in the case of non-convexity of the body part, to fix some point in it, namely the aiming point, and to realize the process of approach. Sufficient conditions are obtained for solving the problem of approach for different classes of strategies. In so doing, the Hayek stroboscopic strategies that prescribe control by N.N. Krasovskii are applied. The process of approach goes on in two stages — active and passive. On the active stage the upper resolving function of second type is accumulated and after the moment of switching the lower resolving function of second type is used. These functions allow constructing a measurable control of second player on the basis of the theorems on measurable choice, in particular, the Filippov-Castaing theorem. The obtained results for generalized quasi-linear processes make it possible to encompass a wide range of functional-differential systems as well as the systems with fractional and partial derivatives. Possibilities for development of the offered technique are specified.