An Application of Kadets-Pełczyński Sets to Narrow Operators

Abstract

A known analogue of the Pitt compactness theorem for function spaces asserts that if 1 ≤ p < 2 and p < r < ∞, then every operator T : Lp → Lr is narrow. Using a technique developed by M.I. Kadets and A. Pełczyński, we prove a similar result. More precisely, if 1 ≤ p ≤ 2 and F is a Köthe {Banach space on [0; 1] with an absolutely continuous norm containing no isomorph of Lp such that F is subset of Lp, then every regular operator T : Lp → F is narrow.

Известный аналог теоремы Питта о компактности для функциональных пространств утверждает, что если 1 ≤ p < 2 и p < r < ∞, то каждый оператор Lp → Lr узкий. Используя технику, разработанную М.И. Кадецем и А. Пелчинским, мы доказываем похожий результат. Именно, если 1 ≤ p ≤ 2 и F - банахово пространство Кете на [0; 1] с абсолютно непрерывной нормой, не содержащее подпространств, изоморфных Lp, причем F является подмножеством Lp, то каждый регулярный оператор T : Lp → F узкий.