О теореме Лаврентьева–Зорича для отображений, более общих, чем квазиконформные

Abstract

Для деякого достатньо широкого класу вiдображень, що є бiльш загальними, нiж локально квазiконформнi, отримано аналог добре вiдомої теореми Лаврентьєва–Зорiча про глобальний гомеоморфiзм. Доведено, що локальнi гомеоморфiзми класу Соболєва W^1,n loc, n ≥ 3, зовнiшня дилатацiя KO(x, f) яких є локально iнтегрованою в R^n у ступенi n−1, є iн’єктивними в R^n за умови, що K^n−1O(x, f) ≤ Q(x) м. в. для деякої вимiрної функцiї Q(x), яка має скiнченне середнє коливання (FMO) в околi нескiнченно вiддаленої точки, або якщо виконано умову розбiжностi деякого iнтеграла. Бiльш того, зазначений вище результат є вiрним навiть для деякого бiльш широкого класу вiдображень.

For some class of mappings which are more general than quasiconformal ones, an analog of the well-known Lavrent’ev–Zorich theorem about the global homeomorphism is proved. It is shown that the local homeomorphisms of the class W^1,n loc are injective in R^n, n ≥ 3, provided that the so-called outer dilatation KO(x, f) is locally integrable in R^n in the degree n − 1, and K^n−1O (x, f) ≤ Q(x) for some function Q(x) having a finite mean oscillation in the neighborhood of the infinity or satisfying some condition of integral divergence. Moreover, the above result is even true for some class of mappings which is more wide than the Sobolev class W^1,n loc.