Bogolyubov averaging and normalization procedures in nonlinear mechanics. III

Abstract

We describe the technique of normalization based on the method of asymptotic decomposition in the space of representation of a finite-dimensional Lie group. The main topics of the theory necessary for understanding the method are outlined. Models based on the Van der Pol equation are investigated by the method of asymptotic decomposition in the space of homogeneous polynomials (the space of representation of a general linear group in a plane) and in the space of representation of a rotation group on a plane (ordinary Fourier series). The comparison made shows a dramatic decrease in the necessary algebraic manipulations in the second case. We also discuss other details of the technique of normalization based on the method of asymptotic decomposition.

Наведена техніка нормалізації за методом асимптотичної декомпозиції у просторі зображення скінченновимірної групи Лі. Стисло викладені для розуміння методу теоретичні положення. Моделі, що грунтуються на рівнянні Вандерполя, вивчені за методом асимптотичної декомпо­зиції у просторі однорідних поліномів (простір зображення загальної лінійної групи на площи­ні) та у просторі зображення групи обертання на площині (звичайні ряди Фур’є). Проведене по­рівняння виявляє драматичне зменшення необхідної кількості алгебраїчних обчислень у остан­ньому випадку. Обговорюються також інші деталі техніки нормалізації за методом асимпто­тичної декомпозиції.