О приближении функций класса Зигмунда бигармоническими интегралами Пуассона

Abstract

Роботу присвячено вивченню поведінки верхньої межі відхилення функцій класу Зигмунда від їх бігармонічних інтегралів Пуассона. Дослідження в даному напрямку проводилися і проводяться систематично як вітчизняними, так і зарубіжними вченими. Більшість отриманих результатів відноситься до оцінки відхилень функцій того чи іншого класу від операторів, побудованих за допомогою трикутних -методів підсумовування рядів Фур’є (Фейєра, Валле Пуссена, Рісса, Рогозинського, Стєклова, Фавара та ін.). Що стосується результатів відносно лінійних методів підсумовування рядів Фур’є, заданих за допомогою множини функцій натурального аргументу (Абеля–Пуассона, Гаусса–Вейєрштрасса, бігармонічного та тригармонічного інтегралів Пуассона), то тут успіхи менш помітні. Можливо, це пов’язано з тим, що згадані вище лінійні методи підсумовування рядів Фур’є є розв’язками відповідних інтегрально-диференціальних рівнянь еліптичного типу і тому вимагають більш трудомістких обчислень з метою отримання для них певних оцінок, придатних для їх безпосереднього використання в прикладних цілях. Дослідження, проведені в даній роботі, відносяться до вивчення апроксимативних характеристик лінійних додатних операторів типу Пуассона на класах функцій Зигмунда. Згідно з добре відомими результатами П.П. Коровкіна саме ці додатні лінійні оператори здійснюють найкраще асимптотичне наближення функцій класу Зигмунда. Таким чином, отримана в даній роботі оцінка відхилення функцій класу Зигмунда від їх бігармонічних інтегралів Пуассона (найменш досліджених і найбільш затребуваних серед всіх лінійних додатних операторів) є актуальною з точки зору прикладної математики.

The paper is devoted to a behavior investigation of the upper bound of deviation of functions from Zygmund classes from their biharmonic Poisson integrals. Systematic research in this direction was conducted by a number of Ukrainian as well as foreign scientists. But most of the known results relate to an estimation of deviations of functions from different classes from operators that were constructed based on triangular -methods of the Fourier series summation (Fejer, Valle Poussin, Riesz, Rogozinsky, Steklov, Favard, etc.). Concerning the results relating to linear methods of the Fourier series summation, given by a set of functions of natural argument (Abel-Poisson, Gauss-Weierstrass, biharmonic and threeharmonic Poisson integrals), in this direction the progress was less notable. This may be due to the fact that the above-mentioned linear methods the Fourier series summation are solutions of corresponding integral and differential equations of elliptic type. And, therefore, they require more time-consuming calculations in order to obtain some estimates, that are suitable for a direct use for applied purposes. At the same time, in the present paper we investigate approximative characteristics of linear positive Poisson-type operators on Zygmund classes of functions. According to the well-known results by P.P. Korovkin, these positive linear operators realize the best asymptotic approximation of functions from Zygmund classes. Thus, the estimate obtained in this paper for the deviation of functions from Zygmund classes from their biharmonic Poisson integrals (the least studied and most valuable among all linear positive operators) is relevant from the viewpoint of applied mathematics.