Об оптимальном управлении стохастическим уравнением с дробным винеровским процессом

Abstract

В теорії стохастичних диференціальних рівнянь в останні роки виник новий напрям досліджень, а саме стохастичні диференціальні з дробовим вінеровським процесом. Такий клас процесів дозволяє досить адекватно описувати багато реальних явищ стохастичної природи в фінансовій математиці, гідрології, біології та багатьох інших областях. Ці явища загалом описуються не стохастичними системами, що задовольняють умовам сильного перемішування або слабкої залежності, а системами із сильною залежністю, і ця сильна залежність регулюється так званим параметром Харста, який є характеристикою цієї залежності. У даній роботі досліджуються задачі існування оптимального керування для стохастичного диференціального рівняння з дробовим вінеровським процесом. Щодо існування оптимального керування виникають ті ж труднощі, що і при дослідженні задачі існування оптимального керування для стохастичних рівнянь зі звичайним вінеровським процесом. У багатьох реальних задачах клас допустимих керувань досить широкий, і для оптимальних керувань можуть не виконуватися умови існування сильних розв’язків для розглянутих рівнянь. У статті розглядається задача існування оптимального керування для стохастичного диференціального рівняння з дробовим вінеровським процесом, в якому присутній коефіцієнт дифузії, що дає більш точні результати моделювання. Доведено теорему існування оптимального керування процесом, якому задовольняє відповідне стохастичне диференціальне рівняння. Основний результат отримано з використанням теореми Гірсанова для таких процесів і теореми існування слабкого рішення для стохастичних рівнянь з дробовим вінеровським процесом.

In recent years, a new direction of research has emerged in the theory of stochastic differential equations, namely, stochastic differential equations with a fractional Wiener process. This class of processes makes it possible to describe adequately many real phenomena of a stochastic nature in financial mathematics, hydrology, biology, and many other areas. These phenomena are not always described by stochastic systems satisfying the conditions of strong mixing, or weak dependence, but are described by systems with a strong dependence, and this strong dependence is regulated by the so-called Hurst parameter, which is a characteristic of this dependence. In this article, we consider the problem of the existence of an optimal control for a stochastic differential equation with a fractional Wiener process, in which the diffusion coefficient is present, which gives more accurate simulation results. An existence theorem is proved for an optimal control of a process that satisfies the corresponding stochastic differential equation. The main result was obtained using the Girsanov theorem for such processes and the existence theorem for a weak solution for stochastic equations with a fractional Wiener process.