Алгоритм решения краевых задач в системах компьютерной алгебры по τ-методу Ланцоша

Abstract

В статье построен алгоритм τ-метода Ланцоша для решения многоточечных линейных краевых задач для линейных дифференциальных уравнений порядка k с многочленными коэффициентами. По этому алгоритму в компьютерных системах символьного преобразования вычисляют многочлен порядка n . Доказана эквивалентность этого алгоритма и алгоритма применения а-метода Дзядыка. Результаты исследования а-метода доказывают существование решения исходной задачи по алгоритму, сходимость последовательности таких решений (с ростом параметра n алгоритма) к точному решению краевой задачи и точные и конструктивные априорные и апостериорные оценки погрешности в пространствах C[a,b], C^k [a,b] для достаточно широкого класса уравнений и краевых условий.

У статті побудовано алгоритм τ-методу Ланцоша для розв’язання багатоточкових лiнiйних крайових задач для лiнiйних диференцiальних рiвнянь порядку k з багаточленними коефiцiєнтами. За ним в комп’ютерних системах символьного перетворення обчислюють багаточлен порядку n. Доведена еквiвалентнiсть цього алгоритму та алгоритму застосування а-методу Дзядика. Результати теорiї а-методу доводять iснування розв’язання вихідної задачi за цим алгоритмом, збiжнiсть послiдовностi таких розв’язань (з ростом параметру n алгоритму) до точного розв’язання крайової задачi, точнi i конструктивнi апрiорнi та апостеріорнi оцiнки похибки в просторах C[a,b] i C^k [a,b] для досить широкого класу крайових задач.

The Lanczos τ-method algorithm of solving the multipoint boundary-value problem for linear differential equations of order k with polynomial coefficients is developed in the article. The polynomial of order n is computed by this algorithm in the computer algebra systems. We proved the equivalence of this algorithm to the V. K. Dzyadyk a-method algorithm. The research results of the a-method prove the solution existence for the initial problem by the algorithm, the convergence of these solutions sequence (with the increase of the algorithm parameter n) to the exact boundary-value problem solution, the exact and constitutive estimates a priori and a posteriori in the spaces C[a,b], C^k [a,b].