Использование методов теории потенциала при решении прямых задач геофизики для трехмерных сложнопостроенных сред

Abstract

Наведено алгоритми розвязання задачі визначення складових гравітаційного, геодинамічного і температурних полів для тривимірних неоднорідних середовищ. З метою апроксимації неоднорідності будови середовища за густинними, реологічними і теплофізичними параметрами використано типові елементи — вертикальні трикутні призми з довільними верхньою і нижньою основами. Отримано новий аналітичний розв’язок прямої задачі гравіметрії для типового елемента з густиною, яка міняється з глибиною за лінійним законом. Виконано математичну постановку і наведено загальний розв’язок задачі визначення напруження і миттєвих швидкостей руху неоднорідного в’язкого середовища під дією гравітаційного поля Землі. Розв’язок визначено з використанням гідродинамічних потенціалів (об’ємного, простого і подвійного шару). Розглянуто математичну постановку і отримано загальний розв’язок нестаціонарної та стаціонарної систем рівняння теплопровідності для неоднорідного середовища. Показано, що для чисельного розрахунку гідродинамічних і теплових потенціалів оптимальним є використання теорії типової техніки розв’язання прямих задач гравітаційного потенціалу. Стійкість, точність і швидкодію розроблених алгоритмів пояснено розрахунками тестових прикладів.

Algorithms of solving the problem to determine the components of gravity, geodynamic and temperature fields for three-dimensional heterogeneous media have been presented. For approximation of heterogeneities of the medium by gravity, rheological and thermalphysic parameters standard elements are used — vertical triangular prisms with arbitrary upper and lower bases. New analytical solution of direct problem of gravity for a standard element with density changing with the depth by linear law has been obtained. Mathematical statement has been carried out and general solution of the problem has been given for valuation of strains and instantaneous velocities of movement of heterogeneous viscous medium under the impact of the Earth’s gravity field. The solution has been determined with application of hydrodynamic potentials (three-dimensional, ordinary and double layer). Mathematical statement has been considered and general solution of instable and stationary systems of thermal conductivity equation has been obtained for heterogeneous medium. It has been demonstrated that for numerical calculation of hydrodynamic and thermal potentials it is optimal to use the theory and standard technique for solving direct problems of gravity potential. Stability, accuracy and operation speed of the algorithms elaborated is demonstrated by calculations of test examples.

Приведены алгоритмы решения задачи определения составляющих гравитационного, геодинамического и температурных полей для трехмерных неоднородных сред. Для аппроксимации неоднородности строения среды по плотностным, реологическим и теплофизическим параметрам используются типовые элементы - вертикальные треугольные призмы с произвольными верхним и нижним основаниями. Получено новое аналитическое решение прямой задачи гравиметрии для типового элемента с плотностью, меняющейся с глубиной по линейному закону. Выполнена математическая постановка и приведено общее решение задачи определения напряжений и мгновенных скоростей движения неоднородной вязкой среды под действием гравитационного поля Земли. Решение определено с использованием гидродинамических потенциалов (объемного, простого и двойного слоя). Рассмотрена математическая постановка и получено общее решение нестационарной и стационарной систем уравнения теплопроводности для неоднородной среды. Показано, что для численного расчета гидродинамических и тепловых потенциалов оптимально использовать теорию и типовую технику решения прямых задач гравитационного потенциала. Устойчивость, точность и быстродействие разработанных алгоритмов демонстрируется расчетами тестовых примеров.