Symmetries of center singularities of plane vector fields

Abstract

Let D² ⊂ R² be a closed unit 2-disk centered at the origin O ∈ R², and F be a smooth vector field such that O is a unique singular point of F and all other orbits of F are simple closed curves wrapping once around O. Thus topologically O is a «center» singularity. Let θ : D² \ {O} → (0, +∞ ) be the function associating with each z ≠ O its period with respect to F. In general, such a function can not be even continuously defined at O. Let also D⁺(F) — be the group of diffeomorphisms of D², which preserve orientation and leave invariant each orbit of F. It is proved that θ smoothly extends to all of D² if and only if the 1-jet of F at O is a «rotation», that is, j¹F(O) = −y(∂/∂x) + x(∂/∂y). Then D⁺(F) is homotopy equivalent to a circle.

Нехай D² ⊂ R² — замкнений одиничний 2-диск з центром у початку координат O ∈ R² i F — гладке векторне поле, для якого O є єдиною особливою точкою, а всi iншi орбiти поля F є простими замкненими кривими, що охоплюють O. Таким чином, топологiчно O є особливiстю типу «центр». Нехай θ : D² \ {O} → (0, +∞ ) — функцiя, що ставить у вiдповiднiсть кожнiй точцi z ≠ O її перiод вiдносно F. Взагалi кажучи, ця функцiя не може бути продовжена навiть до неперервної функцiї на всьому D². Нехай також D⁺(F) — група дифеоморфiзмiв D², що зберiгають орiєнтацiю i залишають iнварiантною кожну орбiту поля F. У статтi доведено, що θ продовжується до C∞-функцiї на всьому диску тодi i тiльки тодi, коли 1-струмiнь F у точцi O є «поворотом», тобто j¹F(O) = −y(∂/∂x) + x(∂/∂y). У цьому випадку група D⁺(F) гомотопiчно еквiвалентна до кола.