Пряма та обернена задачі томографії тензорного поля у кусково-однорідній смузі

Abstract

Розглядаються пряма та обернена задачі визначення двовимірного напружено-деформованого стану в кусково-однорідній смузі, обумовленого стрибками переміщень на поверхні контакту різнорідних частин. В оберненій задачі стрибки переміщень апріорі невідомі, натомість задані лінійні інтеграли від шуканих компонент напружень вздовж деякої множини напрямків. Значення цих інтегралів можна визначити на основі даних акустичних вимірювань. Реалізовано метод розв’язування задач, який базується на розвиненні шуканих розв’язків за повною системою функцій, що задовольняють рівняння теорії пружності в об’ємі тіла й умови ненавантаженості сторін смуги. Коефіцієнти розвинень знаходяться з умови мінімуму функціоналів, які визначають середньо квадратичні відхилення розв’язку на межі півсмуг від заданих умов контакту (пряма задача) або від усіх заданих значень лінійних інтегралів (обернена задача).

Direct and inverse problem of tomography of 2D tensor fields of strains and stresses in piece-wise elastic strip have been considered. It is assumed that the stress-strained state in the strip is caused by displacements jumps localized on the interface boundary divided in to semistrips having different elastic properties. In the inverse problem the displacement jumps are not a priory known, instead values of linear integrals for a set off directions across the strip are given. These values can be determined on the base of acoustic measurement data. A method to solve the problems based on expansion the solutions in full system of functions which satisfy the equations of elasticity in the body volume and the free boundary conditions on the strip sides has been realized. The expansion coefficients are chosen to minimize the functionals that determine the mean-square deviation of the solution from the jump conditions given on the interface boundary (in the case of direct problem) or from measured data (in the case of inverse problem).

Рассматриваются прямая и обратная задачи определения двухмерного напряженно-деформированного состояния кусочно-однородной полосы, обусловленного скачками перемещений на поверхности контакта разнородных частей. В обратной задаче скачки перемещений априори неизвестны, вместо этого заданы линейные интегралы от искомых компонент напряжений вдоль некоторого множества направлений. Значения этих интегралов можно определить, основываясь на данных акустических измерений. Реализован метод решения задач, который базируется на представлении искомых решений по полной системе функций, которые удовлетворяют уравнения теории упругости в объеме тела и условия ненагружения сторон полосы. Коэффициенты разложений находятся из условия минимума функционалов, которые определяют среднеквадратические отклонения полученного решения на границе двух полуполос от заданных условий контакта (прямая задача) или от всех заданных значений линейных интегралов (обратная задача).