65 
 
PACS numbers:74.20.De, 74.25.Op, 74.25.Sv,74.25.Uv,74.25.Wx,74.62.Dh, 74.72.-h 
Пиннинг и динамика вихрей в 3D-анизотропных сверхпроводниках с линейными дефектами 
А. Л. Касаткин, В. П. Цветковский 
Институт металлофизики им. Г. В. Курдюмова НАН Украины, бульв. Акад. Вернадского, 36, 03680, ГСП, Киев-142, Украина 
Решается задача о срыве упругой вихревой нити с протяжённого с-ориентированного линейного дефекта в 3D-анизотропном (слоистом) сверхпроводнике с толщиной d > 2λ (λ ≡ λab – лондоновская глубина про-никновения) при низких температурах под действием транспортного то-ка. Эта задача рассматривается в рамках классической механики как за-дача о поведении упругой вихревой струны, помещённой в потенциаль-ную яму, создаваемую линейным дефектом, и подверженной действию силы Лоренца, экспоненциально распределённой в слое λ вблизи поверх-ности образца. Исследуется проблема механической устойчивости вихре-вой струны в потенциальной яме пиннинга линейного дефекта и находит-ся порог неустойчивости, связанный с достижением критического тока депиннинга. Возникающая неустойчивость приводит к депиннингу вихря вблизи поверхности с последующим распространением этого процесса вглубь образца. Помимо этого, вычисляются энергия активации вихря Uc(j) и соответствующая вольт-амперная характеристика сверхпроводни-ка с линейными дефектами в режиме крипа вихрей в слабом магнитном поле. Полученные результаты также используются для расчёта зависимо-сти критического тока от угла разориентации в бикристаллах высокотем-пературного сверхпроводника (ВТСП) с дислокационной малоугловой границей наклона [001]. Результаты предложенной модели хорошо согла-суются с данными ряда экспериментов на ВТСП-материалах. 
Розв’язується задача про зрив пружньої вихорної нитки з протяжного с-орієнтованого лінійного дефекту в 3D-анізотропному (шаруватому) над-провіднику за низьких температур під дією транспортного струму. Ця за-дача розглядається в межах класичної механіки як задача про поведінку пружньої вихорної струни, що знаходиться в потенціяльній ямі, що ство-рюється лінійним дефектом, а також під дією Льорентцової сили, експоне-нційно розподіленої в поверхневому шарі з товщиною λ (λ ≡ λab – Лондоно-ва глибина проникнення) поблизу поверхні зразка. Досліджується пробле-
Металлофиз. новейшие технол. / Metallofiz. Noveishie Tekhnol. 2013, т. 35, № 1, сс. 65—84  Оттиски доступны непосредственно от издателя  Фотокопирование разрешено только  в соответствии с лицензией 
© 2013 ИМФ (Институт металлофизикиим. Г. В. Курдюмова НАН Украины)
Напечатано в Украине.
66 А. Л. КАСАТКИН, В. П. ЦВЕТКОВСКИЙ 
ма механічної стійкости вихорної струни в потенціяльній ямі, що створю-ється лінійним дефектом, і знаходиться поріг нестійкости, пов’язаний з досягненням критичного струму депінінгу. Виникнення нестійкости приз-водить до депінінгу вихору поблизу поверхні з подальшим поширенням цього процесу вглиб надпровідника. Окрім цього, розраховується енергія активації вихру Uc(j) і відповідна вольт-амперна характеристика надпрові-дника з лінійними дефектами в режимі крипу вихорів у слабкому магнет-ному полі. Одержані результати також використовуються для розрахунку залежности критичного струму від кута дезорієнтації в бікристалах висо-котемпературного надпровідника (ВТНП) з дислокаційною малокутовою межею нахилу [001]. Результати запропонованого моделю добре узгоджу-ються з даними низки експериментів на ВТНП-матеріялах. 
The problem of Abrikosov vortex depinning at low temperatures from ex-tended c-oriented linear defect in 3D anisotropic (layered) superconductor under the surface transport current influence is solved. This problem is con-sidered within the scope of classical mechanics as behaviour of an elastic vor-tex string, which is settled in the potential well of linear defect and exerted to exponentially distributed Lorentz force action within the screening layer of width λ (λ ≡ λab is the London penetration depth) near the specimen surface. The mechanical stability problem is solved for the vortex string inside the potential well created by linear defect, and conditions of the instability threshold caused by attainment of depinning critical value of transport cur-rent are obtained. Besides, the vortex activation energy Uc(j) and correspond-ing current—voltage characteristic in the flux creep regime are calculated for superconductor with linear defects in a weak magnetic field. The obtained results are also applied for calculation of critical current dependence on the disorientation angle in high-temperature superconductor (HTS) bicrystal with a dislocation low-angle [001] tilt grain boundary. The results of sug-gested model agree well with experimental data obtained on HTS materials. 
Ключевые слова: высокотемпературный сверхпроводник (ВТСП), бикри-сталл, линейный дефект, вихрь Абрикосова, пиннинг, энергия актива-ции, крип, критический ток. 
(Получено 19 сентября 2012 г.)
  
1. ВВЕДЕНИЕ 
Протяжённые однонаправленные линейные дефекты в высокотем-пературных сверхпроводниках (ВТСП), такие как столбчатые (‘co-lumnar’) дефекты, создаваемые при облучении образца тяжёлыми ионами с высокой энергией (1—10 ГэВ) [1], краевые и винтовые дис-локации, образующиеся в процессе роста в эпитаксиальных ВТСП плёнках [2—9], а также, интенсивно исследуемые в последнее время так называемые «наностержни» (‘nanorods’), образующиеся за счёт самоорганизации имплантированных в материал ВТСП плёнки наноразмерных частиц диэлектрической фазы (например, BaZrO3, 
 ПИННИНГ И ДИНАМИКА ВИХРЕЙ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ С ДЕФЕКТАМИ 67 
Y2O3 и т.п.) [10, 11], способны обеспечивать высокие значения 
плотности критического тока jc (jc(78 К) ≅106—107 А/см2) благодаря сильному пиннингу вихрей Абрикосова на подобных дефектах. В достаточно слабых полях, когда число абрикосовских вихрей зна-чительно меньше числа линейных дефектов, можно пренебречь коллективными эффектами в вихревом ансамбле, обусловленными межвихревым взаимодействием. В этом случае динамика вихрей под действием транспортного тока с плотностью j(r) и электродина-мические характеристики сверхпроводника с протяжёнными ли-нейными дефектами в смешанном состоянии определяются взаимо-действием отдельных упругих вихревых нитей с этими эффектив-ными центрами пиннинга и неоднородно распределённой силой Ло-
ренца FL = [j(r)×φ0], действующей на вихри со стороны транспортно-
го тока ( 0 e
πφ =   ≈ 2,07⋅10−15 Тл⋅м2 – квант магнитного потока, пе-
реносимого вихрем Абрикосова). Обычно условием применимости «одновихревой» динамики в сверхпроводниках с протяжёнными 
линейными дефектами является условие B << Bφ , где B = nvφ0 – ин-дукция магнитного поля в сверхпроводнике (nv – двумерная кон-
центрация вихрей), Bφ = ndφ0 – поле совместимости (так называемое ‘matching field’), nd – концентрация линейных дефектов. Типич-
ные значения для Bφ лежат в диапазоне 1—10 Тл [1]. Таким образом, «одновихревое» приближение может быть достаточным во многих практически важных случаях. В рамках этого подхода, не учиты-вающего взаимодействие вихрей между собой, было показано, что при конечных температурах срыв вихрей с линейных дефектов и их последующая динамика в присутствии транспортного тока с плот-ностью j происходит благодаря механизму флуктуационного обра-зования термоактивированных частично депиннингованых вихре-вых петель в объёме сверхпроводника [2, 12, 13], или вихревых по-лупетель («языков») вблизи поверхности [14] с размером, превы-шающим некоторое критическое значение lc(j) и, соответственно, с энергией возбуждения, большей критического значения Uc(j) – энергии активации термоактивированного депиннинга вихревой нити с линейного дефекта. Такие петлевые или поверхностные по-лупетлевые возбуждения являются источниками развития не-устойчивости запиннингованного состояния вихря, поскольку при 
l > lc(j) они начинают увеличиваться в размере под действием силы Лоренца, действующей на вихревую нить при протекании транс-портного тока, обеспечивая тем самым сползание вихря с линейно-го дефекта и его перемещение на соседний линейный дефект, рас-положенный в направлении силы Лоренца (рис. 1). При малых то-
ках, когда lc >> rp (rp – радиус потенциальной ямы пиннинга: rp ≥ ξ; 
68 А. Л. КАСАТКИН, В. П. ЦВЕТКОВСКИЙ 
ξ – длина когерентности) и потенциал пиннинга можно аппрокси-
мировать дельта-функцией: 0 2( ) ( ),p pU U= − δr r  зависимость lc(j), 
Uc(j) от плотности тока j имеет вид: lc(j) ∝ Uc(j) ∝ j−1 [2, 12—14].  В настоящей работе решается задача о депиннинге упругой вих-ревой нити с протяжённого линейного дефекта в массивной пла-
стине анизотропного сверхпроводника толщиной d >> λ (λ ≡ λab – лондоновская глубина проникновения) при больших значениях плотности транспортного тока на поверхности образца. Предпола-гается, что сверхпроводящая пластина расположена в слое 
−d < z < 0, и вдоль её поверхности течёт транспортный мейсснеров-
ский ток с плотностью j(z) = j0exp(z/λ). Задача рассматривается в рамках классической механики как задача о поведении упругой вихревой струны, находящейся в потенциальной яме сил пиннинга линейного дефекта и подверженной действию неоднородно распре-делённой силы Лоренца, действующей на конец вихря в экраниру-
ющем слое толщиной λ вблизи поверхности образца.  В работе вычисляется критический ток депиннинга jc, соответ-ствующий порогу устойчивости запиннингованного состояния вих-ревой нити. Согласно предлагаемой модели, возникающая неустой-чивость приводит к депиннингу вихря вблизи поверхности и после-
 
Рис. 1. Флуктуационное образование возбуждений запиннингованной на линейном дефекте вихревой нити: а – вихревая петля в объёме сверхпро-водника; б – вихревая полупетля вблизи поверхности. lc(j) – критиче-ский размер, соответствующий порогу неустойчивости состояния пиннин-га вихря. 
 ПИННИНГ И ДИНАМИКА ВИХРЕЙ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ С ДЕФЕКТАМИ 69 
дующему распространению этого процесса вглубь образца, что согла-суется с результатами экспериментов на монокристаллах ВТСП со столбчатыми дефектами [15, 16]. Кроме того, для рассматриваемого случая вычисляется энергия активации процесса депиннинга вихре-вой нити Uc(j0) при достаточно больших (в отличие от прежних работ [2, 12—14]) амплитудах транспортного тока на поверхности сверх-проводника: j0 ≤ jc. Показано, что энергия активации Uc(j0) быстро убывает с ростом амплитуды j0. В интервале значений амплитуды плотности мейсснеровского тока j0 = (0,3—0,6)jc зависимость Uc(j0) может быть аппроксимирована как 0 0( ) ( ) ,c c cU j U j j μ=  1,5.μ ≅  Этот результат существенно отличается от полученной ранее в [2, 12—14] зависимости Uc(j) такого же вида, но с показателем степени μ = 1. По-лученный результат согласуется с данными недавних экспериментов [17, 18] по исследованию крипа вихрей в ВТСП плёнках.  В рамках предложенной модели исследуется также зависимость критического тока от угла разориентации в бикристаллах ВТСП с ма-лоугловой границей наклона [001], образованной линейным рядом с-ориентированных краевых дислокаций [19]. Показано, что при срав-нительно малых углах θ разориентации кристаллических блоков по обе стороны границы (θ ≤ 10—15°) критический ток и возникновение резистивного состояния бикристалла определяется механизмом де-пиннинга абрикосовских вихрей (возникших за счёт приложенного внешнего магнитного поля, или индуцированных протекающим транспортным током), захваченных краевыми дислокациями вдоль бикристаллической границы. В этом случае резистивное состояние определяется переносом вихрей вдоль дислокационного ряда, фор-мирующего малоугловую границу, перпендикулярно направлению транспортного тока, текущего через границу. Найдена угловая зави-симость критического тока депиннинга, хорошо согласующаяся с экспериментальными результатами, полученными на бикристаллах Y—Ba—Cu—O с малоугловой [001] границей наклона [19—21]. 
2. УПРУГАЯ ВИХРЕВАЯ НИТЬ В ПОТЕНЦИАЛЕ ПИННИНГА ЛИНЕЙНОГО ДЕФЕКТА В ПРИСУТСТВИИ НЕОДНОРОДНОЙ СИЛЫ ЛОРЕНЦА 
Энергия одиночного вихря в потенциальной яме сил пиннинга Up(s), создаваемой линейным дефектом в 3D-анизотропном сверх-проводнике, в присутствии мейсснеровского тока j(z) = j0exp(z/λ) и с учётом упругих свойств вихревой нити, может быть записана в виде функционала [22—24]: 
 { } [ ]
20
0( ) ( ) ( ) ( ) ,2v pd
P sW s z j z s z U s z dzz
−
 ∂  
= − φ +  ∂     (1) 
70 А. Л. КАСАТКИН, В. П. ЦВЕТКОВСКИЙ 
где s(z) – смещение вихря относительно оси линейного дефекта (оси z); P – линейное натяжение вихревой нити; Up(s) – потенциал пин-нинга линейного дефекта; φ0 – квант потока; d – толщина сверхпро-водника (в дальнейшем предполагается d >> λ). Второй (отрицатель-ный) член под знаком интеграла описывает работу сил Лоренца 
0( ) [ ( ) ]L z z= ×F j φ  по смещению вихря s(z) относительно оси дефекта. При этом сила Лоренца действует только на конец вихря в слое λ, где течёт мейсснеровский ток. Для потенциала пиннинга, который рас-считывался в разных теоретических моделях (см., например, обзор [22]), будем использовать модельное выражение достаточно общего вида, позволяющее аналитически решать задачу о депиннинге вихря: 
 
2
0
2
0 0 max
2
0
,  ,2( )
( ) ( ) ,  ,2
( ) , .2
L
p p
p
p c p p p
L p
p p p p L
sU s r
U s
U j s r s r r s R
rU U r U
 α
− + <
≈  β
′ + φ − − − < <
α
′ = = − + β < α
 (2) 
Здесь Up0 — глубина потенциальной ямы (энергия пиннинга); rp – 
точка перегиба потенциала пиннинга: 
2
2 0
p
p
s r
U
s
=
∂
=
∂
; jc0 – плотность 
критического тока депиннинга абсолютно жёсткого вихря, опреде-
ляемая условием: 0 0 max ;pc L p
Uj rs
∂ φ = = α ∂   
αL – коэффициент 
жёсткости потенциальной ямы (параметр Лабуша): 
2
2
0
;pL
s
U
s
→
∂
α =
∂  
коэффициент β описывает кривизну потенциальной ямы при s > rp: 
2
2
p
p
s r
U
s
≥
∂
−β =
∂  
(в дальнейшем предполагается, что β < αL). Глубина 
потенциальной ямы Up0 может быть оценена как [23, 24]: 
 
2
0
2
0
(0);4p ab
U JΦ= ε ≤
πμ λ  
0,5 ln 1,
ab
R 
ε = + ≤ ξ 
 (3) 
где R – радиус внутренней (несверхпроводящей области) вблизи оси линейного дефекта, R ≥ ξab (ξab – длина когерентности в плоско-сти двумерных сверхпроводящих слоёв в ВТСП); J(0) – собствен-ная энергия вихря, ориентированного вдоль оси с. 
 ПИННИНГ И ДИНАМИКА ВИХРЕЙ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ С ДЕФЕКТАМИ 71 
 Процедура минимизации функционала (1) 
min { ( )} 0vv WW s z s
δ =
δ
 
приводит к уравнению, определяющему равновесную форму вихре-вой нити в потенциальной яме Up(s) [13, 25—27] (см. рис. 2): 
 2 02
( ( ))( ) 0; ( ) 0; (0) 0.pU s zsP j z s ssz
∂∂
′+ φ − = −∞ = =
∂∂
 (4) 
Для модельного потенциала пиннинга, описываемого выражением (2), уравнение (4) является линейным (при ps r<  и ps r> ), и его приближенное аналитическое решение может быть записано сле-дующим образом: решение (4) можно разделить на две части – для малых и больших величин смещения s0 конца вихря на поверхности образца ( 0 ps r<  и 0 ps r>  соответственно).  1) При малых плотностях тока, а именно j0 < jc0, решение (4) име-ет вид: 
 
//
//0 0
2
0 0
( ) ,
1
p
p
z Lpz
p
z Lpz
p
c cp
Lr e e Lj js z r e ej jL
λ
λ
 
− λ   
= ≅ − λ   
−  λ 
 (5) 
где 
 
Рис. 2. Вихревая нить в потенциальной яме сил пиннинга Up(s) линейного дефекта в присутствии текущего в поверхностном слое мейсснеровского транспортного тока j(z). Пунктирная линия соответствует отклонению вихря от оси дефекта за счёт токовых флуктуаций. rp – эффективный ра-диус потенциальной ямы Up(s).
72 А. Л. КАСАТКИН, В. П. ЦВЕТКОВСКИЙ 
 
1/2
.p p
L
PL r = ≤ << λ 
α 
 (6) 
 Решение (5) описывает равновесную форму вихревой линии, ло-кализованной вблизи дна потенциальной ямы пиннинга (2) при всех z: s(z) < rp для малых токов (j0 < jc0). Максимальное смещение вихревой линии от оси линейного дефекта s0 возникает на поверх-ности образца (z = 0) и достигает значения rp при j0 = jc1: 
 
1
0 0
0
0 1
(0) 1p p p
c c
j r L js s rj j
− 
≡ = + = λ 
; 1 0 01 .pc c cLj j j = + ≥ λ   (7) 
 2) В случае больших токов (j0 ≥ jс1 ≥ jc0) смещение вихря вблизи по-верхности выходит за пределы параболической части потенциальной ямы: s0 > rp. В этом случае решение (4) состоит из двух частей – sI(z) и sII(z), соответствующих различному виду потенциала пиннинга (2) при s(z) < rp и s(z) ≥ rp: 
 
2
I
0 I2
2
II
0 II2
( ) 0, ;
( ) ( ) 0, 0.
L p
L p p p
sP j z s z zz
sP j z r s r z zz
∂
+ φ − α = − ∞ < <
∂
∂
+ φ − α + β − = < <
∂
 (8) 
Решения sI(z) и sII(z) гладко сшиваются в точке z = zp. При этом должны выполняться граничные условия: 
 II I, II, I II,( ) ( ) ; ( ) ( );  ( ) 0; (0) 0 .p p p z p z p zs z s z r s z s z s s′ ′ ′= = = − ∞ = =  (9) 
Решения уравнений (8) можно записать в общем виде: 
 0 0I 0 02
0 0
( ) , ;
1
p p
z z zz
L L
p p p
c cp
j jes z r a e r e a e z zj jL
λ
λ
= + ≈ + <
 
−  λ 
 (10а) 
 
( )
( )
2 20 0 0
II 0
0
2 20
0
0
2
( ) 1 ( )2
1 ( )
1 , 0.2
c
p p
c
p
c
p p
p
j js z r z j zP j
j z j zjr z zL
 φ
≅ + − − =  
  
− −    
= + ≤ ≤    
 (10б) 
 ПИННИНГ И ДИНАМИКА ВИХРЕЙ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ С ДЕФЕКТАМИ 73 
Из (10б) следует, что положение конца вихря на поверхности s0 определяется как 
 
2
00
0 2
0
( )1(0) 1 1 .2
p
p
c p
z jjs s r j L
  
≡ = + −     
 (11) 
Из условий гладкой сшивки sI(z) и sII(z) (9) для координаты zp = zp(j0) следует 
 01 1 0 1
0 1 0
2 1 2 1 ( ).c cp c
c
jj jz j jj j j
  
≈ − λ − = − λ − >     
 (12) 
3. КРИТИЧЕСКИЙ ТОК И ЭНЕРГИЯ АКТИВАЦИИ ПРОЦЕССА ДЕПИННИНГА ВИХРЕВОЙ НИТИ С ЛИНЕЙНОГО ДЕФЕКТА 
Рассмотрим случай достаточно толстой (d >> λ) пластины 3D-анизо-тропного сверхпроводника с с-ориентированными линейными де-фектами, по поверхности которого течёт транспортный мейсснеров-ский ток с амплитудой j0 < jc0 (см. разд. 2). При этом будем предпо-лагать, что сверхпроводник находится в состоянии так называемого «бозе-стекла» [12, 22], т.е. все вихри запиннингованы на линейных дефектах и отклоняются от оси дефектов под действием транспорт-ного тока, оставаясь при этом в потенциальной яме пиннинга, как это следует из формулы (5) и показано на рис. 2 (сплошная кривая). Энергия такого исходного равновесного состояния вихревой нити W0(j0), отсчитанная от энергии полностью запиннингованного со-стояния вихревой нити (s(z) = 0), определяется интегралом (1). Под-ставляя в (1) выражение (5) для функции s(z), справедливое для ма-лых токов (j0 < jc0), находим 
 
2
0
0
0
1 .2
p p
c
U LjW j
′    
= − λ −   λ  
 (13) 
 Для исследования устойчивости найденного решения для s(z), описываемого выражениями (5), (10), рассмотрим вторую вариа-цию функционала энергии вихря W, описываемого выражением (1) 
 ( )
20 2(2) 2
2( ) ( ) ,pz
d
UW P s z s z dzs
−
 ∂
′δ = δ + δ ∂    (14) 
где δs(z) – малое смещение вихревой линии относительно её равно-весного положения s(z), определяемого выражениями (5), (10) при малых и больших токах, соответственно. Для выбранного модель-ного потенциала пиннинга Up(s) (2) имеем 
74 А. Л. КАСАТКИН, В. П. ЦВЕТКОВСКИЙ 
 
2
2
, ;( )
, 0.
L pp
p
z zU s
z zs
α <∂ 
= 
−β < <∂ 
 (15) 
 Как следует из (14), (15), решение (5) для формы вихревой линии 
s(z) при малых токах (j0 < jc0) соответствует устойчивому состоянию 
пиннинга, поскольку в этом случае δ(2)W > 0 для любых малых воз-
мущений δs(z). Однако, при больших значениях тока (j0 > jc1 ≥ jc0) решение (10), описывающее в этом случае равновесную форму вих-ревой линии s(z), становится неустойчивым, когда плотность транспортного тока на поверхности j0 превышает некоторое крити-
ческое значение jc (jc > jc1), поскольку при этом δ(2)W < 0. Пороговое 
значение плотности тока jc, которое находится из условия δ(2)W = 0, определяет критический ток депиннинга вихря с линейного дефек-та. При этом процесс депиннинга начинается на поверхности образ-ца и распространяется вглубь сверхпроводника. Используя проб-
ную функцию для δs(z) в виде: δs(z) = δs0exp(z/l), |zp| ≤ l << λ и вычис-
ляя интеграл в (14) как [ ] [ ] [ ]
0 0
... ... ... ,
p
p
z
d d z
dz dz dz
− −
= +    получаем для 
δ(2)W: 
 2 /(2) 20 2 ( ) .2 2
pz l
L
l PW s el
 δ = δ + α + β − β    (16) 
Согласно (16), условие для порога неустойчивости состояния пин-нинга δ(2)W = 0 приводит к выражению для координаты zp 
 22ln .2p L
P
l lz
 β − 
=  
α + β   
 (17) 
При этом предполагается, что 2(2 ) 0P lβ − > ; в противном случае, 
как следует из (16), δ(2)W > 0 для всех zp. Таким образом, коротко-
волновые возмущения с (2 ) 2 ,pl P R< β ≡  где ,p pR P L= β ≥  
оказываются устойчивыми. Предполагая 2 ,pl R>  из сопостав-
ления (17) и (12), получаем уравнение для определения jc: 
 20 1
0
22 ln .2 2
p c
p
L
P
L j j l lz j
 β −  
−
= − − λ =   
α + β     
 (18) 
 ПИННИНГ И ДИНАМИКА ВИХРЕЙ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ С ДЕФЕКТАМИ 75 
Решение (18) определяет величину j0 = jc(l): 
 
2
2
1
2
2
2
2
1( ) 1 1ln ; ;( ) 2 2 2 41 2
1 1( , ) ln , 1, .1 21 2
p
p p p p pc c
c p pp
p
p p
R
L L R R Lj l j l lFj l R LR
l
Rn lF x n x n xL R
x
  
+     
−     
= − ≡ −       λ λ λ      
−    
  +
= ≡ ≥ = >  
−  
 (19) 
Очевидно, что критический ток депиннинга jc может быть опреде-
лён как min ( )c l cj j l= : 
 [ ]
1 1 1min ( , ) ( ) 1 1,4 4
( ) min ( , ), ( ) 2
p p pc c
x
c
x
R L Lj j F x n nf nj
f n F x n f n
 −
= − = − << λ λ λ 
≡ ∼ 3.
 (20) 
 Как следует из (20), при предполагаемых значениях n ≥ 1, крити-ческая плотность тока депиннинга на поверхности jc лишь слегка превышает величины jс1, jс0, определённые выше в (4), (7): jc ≥ jc1≥ jc0.  При конечных температурах за счёт флуктуаций вихревая нить испытывает отклонения от равновесного положения (5), как это по-казано пунктирной линией на рис. 2. Так же, как и в случае доста-точно малых значений транспортного тока [2, 12—14], существуют определённые критический размер и энергия lc(j), Uc(j) для таких отклонений, выше которых теряется устойчивость запиннингован-ного состояния вихревой нити. Будем предполагать, что основной вклад в термоактивированный депиннинг вихрей вносят низкоча-стотные флуктуации тока в области расположения линейного де-фекта jf(z, t) = jf(t)exp(z/λ) (jf(t) > j0). При этом форма вихревой нити sf(z; t) адиабатически следует за изменением тока и в любой момент времени t может быть описана выражениями (5) или (10а), (10б) с заменой j0 → jf(t). Энергия возбуждённого состояния вихря Wf(j0), соответствующая всплеску локального значения плотности тока jf(z, t), описывается выражением аналогичным выражению (1): 
 
20
0 ( ) ( ) [ ( )] .2
f
f f p f
d
sPW j z s z U s z dzz
−
 ∂  
= − φ +  ∂     (21) 
В этом выражении транспортный ток j(z) = j0exp(z/λ), а функция sf(z) является решением (5) или (10) с током jf(z, t) = jf(t)exp(z/λ) 
76 А. Л. КАСАТКИН, В. П. ЦВЕТКОВСКИЙ 
(jf(t) > j0). 
 Определим энергию возбуждения вихря как Wex = Wf − W0, где W0, Wf определены согласно (13), (21). Проводя численные расчёты интеграла (21), находим зависимость Wex от амплитуды возбужда-ющего флуктуационного тока jf (Wex(jf)) при разных значениях ам-плитуды плотности транспортного тока j0. Эта зависимость показа-на на рис. 3. Как видно из этого рисунка, зависимость Wex(jf) имеет максимум при амплитудах плотности тока jf слегка превышающих величину jс0 (jс0 – плотность критического тока депиннинга абсо-
лютно жёсткого вихря: 0 0 max ,pc L p
Uj rs
∂ φ = = α ∂   
определённая вы-
ше в разд. 2). Значение функции Wex(jf) в максимуме является энер-гией активации – Uc(j0), необходимой для освобождения вихря из потенциальной ямы. Зависимость энергии активации Uc(j0) от ам-плитуды плотности транспортного мейсснеровского тока на поверх-ности сверхпроводника, j0, показана на рис. 4 в двойных логариф-мических координатах для изменения j0 в интервале (0,3—1)jс0. Как видно из этого рисунка, спад величины Uc с ростом j0 происходит 
гораздо быстрее, чем в режиме слабых токов (j0 << jс0) для которого 
 
Рис. 3. Зависимость энергии возбуждения Wex вихревой нити от амплиту-ды плотности флуктуационного тока jf на поверхности образца, нормиро-ванной на плотность тока депиннинга jc0 при четырёх разных значениях поверхностной плотности транспортного мейсснеровского тока j0. Макси-мум зависимости Wex(jf) соответствует энергии активацииUc вихря. 
 ПИННИНГ И ДИНАМИКА ВИХРЕЙ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ С ДЕФЕКТАМИ 77 
Uc(j0) ∝ j0−1 [2, 12—14]. В интервале токовых значений j0 = (0,3—0,6)jс0 зависимость Uc(j0) можно аппроксимировать степенной зависимо-стью вида (прямая линия на рис. 4): 
 0
0
( ) , 1,5.cc c jU j U j
μ 
= μ ≅  
 (22) 
Зависимость Uc(j) вида (22) характерна для многих режимов крипа абрикосовских вихрей, например, для режима коллективного кри-па вихрей в сверхпроводниках с точечными дефектами, для состоя-ния так называемого «вихревого стекла» и «вихревого кристалла» в статистическом ансамбле абрикосовских вихрей, или же для сверх-проводников с протяжёнными линейными и плоскими дефектами [22, 24]. Экспериментально зависимость Uc(j) вида (15) проявляется в специфическом виде нелинейной вольт-амперной характеристики сверхпроводника 
 ( ) exp ,cc jE j E j
μ  
= −     
 (23) 
где E – электрическое поле, j – плотность тока в резистивном со-
 
Рис. 4. Зависимость энергии активации вихревой нити Uc от поверхностной плотности транспортного мейсснеровского тока j0 (нормированной на плот-ность тока депиннинга jc0), построенная в двойных логарифмических коор-динатах. Прямая линия соответствует зависимости 0 0( ) ( ) ,c c cU j U j j μ=  1,5.μ ≅  
78 А. Л. КАСАТКИН, В. П. ЦВЕТКОВСКИЙ 
стоянии сверхпроводника, обусловленном крипом вихрей. Показа-тель степени μ, входящий в это выражение, является весьма важ-ным параметром для физики смешанного состояния сверхпровод-ников, поскольку характеризует механизм пиннинга и режим кри-па абрикосовских вихрей. Согласно (23), он может быть непосред-ственно определён из транспортных измерений в резистивном со-стоянии сверхпроводника. Кроме того, параметр μ может быть определён из измерений скорости релаксации магнитного момента сверхпроводника M(t) в режиме крипа с энергией активации вида (22) [17, 18, 22, 24]: 
 
0
0
ln ( ) .ln ln
B
B
k Td M tS d t tU k T t
= − =  
+ μ   
 (24) 
 Как правило, в большинстве экспериментов, выполненных на купратных ВТСП-материалах, определялись значения μ ≤ 1, в соот-ветствии с теорией коллективного крипа, а также крипа в случае ли-нейных дефектов при малых токах [22, 24]. В то же время, в недав-них работах по измерению скорости релаксации магнитного момента в ВТСП-плёнках (Y,Gd)—Ba—Cu—O [17] и Nd—Ba—Cu—O—(BZO) со столбчатыми линейными дефектами, образованными имплантиро-ванными наночастицами фазы BaZrO3—(BZO) [18], были найдены значения μ ≅ 1,5. Объяснение этих результатов возможно в рамках модели, предложенной в настоящей работе, поскольку, как извест-но, в эпитаксиальных ВТСП-плёнках с высокими значениями плот-ности критического тока основным механизмом пиннинга вихрей является пиннинг на линейных дефектах, как обсуждалось выше во введении. 
4. КРИТИЧЕСКИЙ ТОК БИКРИСТАЛЛА ВТСП С ДИСЛОКАЦИОННОЙ ГРАНИЦЕЙ [001] 
Рассмотрим задачу о критическом токе депиннинга вихрей в моде-ли периодического потенциала пиннинга Up(s), создаваемого крае-выми дислокациями, формирующими малоугловую границу наклона [001] вдоль оси х в бикристалле ВТСП.  Следуя работам [22, 28], выражение для потенциала Up(s) можно записать в виде: 
 
2
2( )( ) ( ) 1 ,p p r sU s V r d r
∞
 ψ − = − −
ψ    (25) 
где ψ(r) – параметр порядка сверхпроводящего состояния; Vp(r) – 
 ПИННИНГ И ДИНАМИКА ВИХРЕЙ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ С ДЕФЕКТАМИ 79 
потенциал распаривания электронов, характеризующий неодно-родность материала, приводящую к локальному подавлению сверхпроводимости. 
 В модели (δТс)-пиннинга потенциал Vp(r) можно записать в виде [22] 
2( ) ( ),pV r r∞= ψ δα  
где ( )cT T′α ≡ α −  – параметр теории Гинзбурга—Ландау. В рас-сматриваемом случае периодического потенциала Vp(r), создаваемо-го дислокационным рядом, будем использовать приближение 
2
0 0 0 2( ) ( ), ( ) ( ).p p p p
n
V r V r nd V r V r r= − = π δ  
Для ряда с-ориентированных краевых дислокаций с вектором Бюр-герса b, образующего малоугловую границу наклона [001] вдоль оси х в бикристалле ВТСП, расстояние между соседними дислокациями определяется формулой Франка 
 ( ) ; ; .
2sin 2
bd d d b= θ = = =θ d x b
  (26) 
Кроме того, в (25) используем выражение для локального измене-ния параметра порядка ψ(r) на масштабах длины когерентности ξ в окрестности кора вихря, приведённое в [22]: 
2 2
( )( ) .
2
r rf r
r∞
ψ
= ≅
ψ + ξ
 
В соответствии с этим, выражение для периодического потенциала пиннинга Up(s) запишем в виде [28]: 
 
2
2 2
0 2 2 2
2
2
0 2 2 2
( )( ) ( ) 1 ( ) 2
2 .( ) 2
p p
n
p
n x y
r sU s V r d r r nd r s
V r nd s s
 
−
= − π δ − − = 
− + ξ 
ξ
= − π
+ + + ξ


 (27) 
Проводя суммирование в (27), с использованием известной форму-лы суммы ряда 
1 ctg( ),
k
ak a
∞
=−∞
= π π
+
  
находим [28] 
80 А. Л. КАСАТКИН, В. П. ЦВЕТКОВСКИЙ 
 
2 2
2
2
0 2 2 2 2
2 2sh
2( ) .
2 2 2 2ch cos
y
p p
y y x
s
d
U s V r
d s s s
d d
 π + ξ  
πξ  
= − π  + ξ π + ξ π  
−      
 (28) 
Из (28) следует выражение для периодического потенциала пин-нинга вдоль плоскости границы 
 20
2 2sh2( ) .22 2ch cos
p x p
x
dU s V r d s
d d
 πξ  πξ  
= − π   ππξ  
−       
 (29) 
Потенциал пиннинга в (28), (29) зависит от угла разориентации бикристалла θ, что определяется зависимостью d(θ) (26). Это позво-ляет найти угловую зависимость плотности критического тока jc(θ), определяемого депиннингом вихрей, локализованных на дислока-циях вдоль границы (рис. 5) 
 
0
1( ) max .pc
x
Uj s
∂ 
θ =  φ ∂ 
 (30) 
 Следует отметить, что в сверхпроводящих плёнках (пластинах) с толщиной d > λ выражение (30) определяет плотность критического тока депиннинга на поверхности образца, при достижении которой возникает неустойчивость состояния пиннинга вихря на линейном 
 
Рис. 5. Вихревая нить в периодическом потенциале пиннинга Up(s), созда-ваемого дислокациями вдоль малоугловой наклонной границы [001] бикристалла ВТСП. 
 ПИННИНГ И ДИНАМИКА ВИХРЕЙ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ С ДЕФЕКТАМИ 81 
протяжённом дефекте (дислокации), приводящая к отрыву вихря на поверхности образца и последующему распространению этого процесса вглубь образца, как это было показано в предыдущих разд. 2, 3.  Численный расчёт зависимости jc(θ) с использованием выраже-ний (29), (30) показан на рис. 6 в полулогарифмическом масштабе. При этом, в качестве параметров были использованы значения: b = 
= 0,4 нм, ξ = 2 нм, известные из экспериментов для бикристаллов YBCO [19—21]. Полученный результат для зависимости jc(θ) хорошо согласуется с данными экспериментов на бикристаллах YBCO с ма-лоугловой границей наклона [001]. Наиболее характерными черта-ми этой зависимости, согласно экспериментальным данным, явля-ется наличие плато при малых углах разориентации (θ < 2—3°) и экспоненциальная зависимость вида: jc(θ) ∝ exp(−θ/θ0) (типичные значения θ0 = 1—3°) [19—21]. Как видно из рис. 6, полученная рас-чётная зависимость jc(θ) проявляет указанные черты и, таким обра-зом, количественно описывает результаты экспериментов. 
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 
В настоящей работе решается задача о депиннинге вихря с протя-жённого линейного дефекта в массивной пластине анизотропного 
сверхпроводника, толщиной d >> λ (λ – лондоновская глубина про-никновения), при больших значениях плотности транспортного то-ка на поверхности образца. При этом, в отличие от прежних работ [2, 12—14], рассматривается случай, когда амплитуда плотности мейсснеровского тока на поверхности сверхпроводника j0 сравнима 
 
Рис. 6. Зависимость критического тока депиннинга jc(θ) от угла разориента-ции бикристалла (нормированная на значение критического тока массивно-го образца jc,G), рассчитанная для значений параметров: b = 0,4 нм, ξ = 2 нм. 
82 А. Л. КАСАТКИН, В. П. ЦВЕТКОВСКИЙ 
с величиной плотности тока депиннинга jc. При этом размеры кри-тической петли (поверхностной полупетли) lc(j) становятся порядка радиуса потенциальной ямы сил пиннинга линейного дефекта, что приводит к необходимости пересмотра решений, полученных ранее в [2, 12—14], с учётом потенциала пиннинга линейного дефекта, что и было сделано в настоящей работе для модельного потенциала пиннинга Up(s). Показано, что сам процесс депиннинга вихревой нити с линейного дефекта, перпендикулярного поверхности образ-ца, возникает за счёт смещения вихря от оси дефекта на расстояние, большее некоторого критического значения lc(j). Так же, как и в случае малых токов [14], этот процесс начинается на поверхности и распространяется вглубь образца. Энергия активации процесса де-пиннинга при больших значениях плотности транспортного тока на 
поверхности (j0 ≤ jc) быстро убывает с ростом j0. В интервале значе-
ний плотности поверхностного тока j0 = (0,3—0,6)jc зависимость энергии активации от j0 может быть аппроксимирована зависимо-
стью: 0
0
( ) , 1,5.cc c jU j U j
μ 
= μ ≅    
Этот результат существенно отлича-
ется от полученного ранее [2, 12—14] в модели дельтаобразного по-тенциала пиннинга Up(s), где был найден такой же вид зависимости 
Uc(j), но с показателем степени μ = 1. Можно ожидать, что этот пер-
воначальный результат справедлив лишь при слабых токах (j0 << jc), когда критический размер вихревой петли (поверхностной полу-петли) lc(j) существенно больше радиуса потенциальной ямы сил пиннинга rp. В то время как при больших токах, сравнимых с током депиннинга, зависимость Uc(j) становится более сильной (см. рис. 4). Результаты недавних экспериментов на ВТСП-плёнках (Y,Gd)—Ba—Cu—O [16] и Nd—Ba—Cu—O—(BZO) [17], в которых обнаружены 
значения μ ≅ 1,5, могут быть объяснены в рамках предложенной модели, поскольку, как уже говорилось ранее во Введении, в ВТСП-плёнках преимущественным механизмом пиннинга абрикосовских вихрей является пиннинг на протяжённых линейных дефектах.  Помимо этого, в работе показано, что ограничение токонесущей способности эпитаксиальных плёнок и бикристаллов ВТСП с гра-ницей наклона [001] при небольших углах разориентации θ (θ ≤ 
≤ 10—15°) определяется механизмом депиннинга абрикосовских вихрей (возникших за счёт приложенного внешнего магнитного по-ля, или индуцированных протекающим транспортным током), за-хваченных краевыми с-ориентированными дислокациями, форми-рующими такую границу. В этом случае резистивное состояние определяется переносом вихрей вдоль дислокационного ряда, фор-мирующего малоугловую границу, перпендикулярно направлению транспортного тока, текущего через границу. Зависимость крити-
 ПИННИНГ И ДИНАМИКА ВИХРЕЙ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ С ДЕФЕКТАМИ 83 
ческого тока от угла разориентации в бикристаллах ВТСП с мало-угловой границей наклона [001] характеризуется наличием плато при малых углах (θ ≤ 2—3°) и экспоненциальной зависимостью вида jc(θ) ∝ exp(−θ/θ0) с характерными значениями θ0 = 1—3°. Приведён-ная в данной работе модель критического тока, определяемого ме-ханизмом депиннинга вихрей, находящихся в периодическом по-тенциале сил пиннинга дислокационной цепочки, формирующей малоугловую границу наклона [001] в бикристалле ВТСП, количе-ственно хорошо согласуется с соответствующей экспериментальной зависимостью, полученной на бикристаллах ВТСП (Y—Ba—Cu—O).  Работа выполнена при поддержке НАН Украины в рамках госу-дарственной целевой научно-технической программы «Нанотехно-логии и наноматериалы». 
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 
1. L. Civale, Supercond. Sci. Technol., 10: A11 (1997). 2. V. M. Pan, A. L. Kasatkin, V. L. Svetchnikov, and H. W. Zandbergen, Cryogen-ics, 33, No. 1: 21 (1993). 
3. B. Dam, J. M. Huijbregtse, F. C. Klaassen et al., Nature, 399: 439 (1999). 4. A. Gurevich and E. A. Pashitskii, Phys. Rev. B, 57, No. 21: 13878 (1998). 
5. J. M. Huijbregtse, B. Dam, R. C. F. van der Geest et al., Phys. Rev. B, 62, No. 2: 
1338 (2000). 6. F. C. Klaassen, G. Doornbos, J. M. Huijbregtse et al., Phys. Rev. B, 64: 184523 (2001). 
7. B. Dam, J. M. Huijbregtse, and J. H. Rector, Phys. Rev. B, 65: 064528 (2002). 8. Y. V. Fedotov, E. A. Pashitskii, S. M. Ryabchenko et al., Low Temp. Phys., 29, No. 8: 630 (2003).  
9. V. Pan, Y. Cherpak, V. Komashko et al., Phys. Rev. B, 73, No. 5: 054508 (2006). 10. S. R. Foltyn, L. Civale, J. L. MacManus-Driscoll et al., Nature Mater., 6: 631 (2007). 
11. B. Maiorov, S. A. Baily, H. Zhou et al., Nature Mater., 8: 398 (2009). 12. D. R. Nelson and V. M. Vinokur, Phys. Rev. B, 48, No. 17: 13060 (1993). 
13. E. H. Brandt, Phys. Rev. Lett., 69, No. 7: 1105 (1992). 
14. A. L. Kasatkin, V. M. Pan, and H. C. Freyhardt, IEEE Trans. Appl. Supercond., 7, No. 2: 1588 (1997). 
15. M. V. Indenbom, C. J. van der Beek, M. Konczykowski, and F. Holtzberg, Phys. 
Rev. Lett., 84, No. 8: 1792 (2000). 16. A. W. Smith, H. M. Jaeger, T. F. Rosenbaum et al., Phys. Rev. Lett., 84, No. 21: 4974 (2000). 
17. Ö. Polat, J. W. Sinclair, Y. L. Zuev et al., Phys. Rev. B, 84, No. 2: 024519 (2011). 
18. A. O. Ijaduola, S. H. Wee, A. Goyal et al., Supercond. Sci. Technol., 25, No. 4: 
045013 (2012). 19. H. Hilgenkamp and J. Mannhart, Rev. Mod. Phys., 74, No. 2: 485 (2002). 
20. D. Larbalestier, A. Gurevich, D. M. Feldmann, and A. Polyanskii, Nature, 414: 
368 (2001). 
84 А. Л. КАСАТКИН, В. П. ЦВЕТКОВСКИЙ 
21. N. F. Heinig, R. D. Redwing, J. E. Nordman, and D. Larbalestier, Phys. Rev. B, 60, No. 2: 1409 (1999). 22. G. M. Blatter, M. V. Feigel’man, V. B. Geshkenbein, A. I. Larkin, and V. M. 
Vinokur, Rev. Mod. Phys., 66, No. 4: 1125 (1994). 23. E. H. Brandt, Phys. Rev. Lett., 69, No. 7: 1105 (1992). 24. E. H. Brandt, Rep. Progr. Phys., 58, No. 11: 1465 (1995). 
25. V. Tsvetkovskii, A. Kasatkin, and V. Shabatura, IOP Journal of Physics: Conf. Ser., 43: 639 (2006). 26. А. Л. Касаткин, В. П. Цветковский, Металлофиз. новейшие технол., 34, № 
7: 1001 (2012). 27. А. Л. Касаткин, В. П. Цветковский, Металлофиз. новейшие технол., 34, № 11: 1465 (2012). 
28. Э. А. Пашицкий, В. И. Вакарюк, ФНТ, 28, № 1: 16 (2002).