© Г.П. Микитик, 2010 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1, c. 17–49 Критические состояния в тонких плоских сверхпроводниках второго рода в перпендикулярном или наклонном магнитном поле (Обзор) Г.П. Микитик Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины пр. Ленина, 47, г. Харьков, 61103, Украина E-mail: mikitik@ilt.kharkov.ua Статья поступила в редакцию 28 августа 2009 г. Рассмотрена теория критических состояний вихревой решетки в сверхпроводниках второго рода без предположения о взаимной перпендикулярности локальных магнитных полей и циркулирующих токов в образце. Такая теория позволила решить ряд задач для тонких плоских сверхпроводников в перпен- дикулярном их плоскости внешнем магнитном поле: построена теория эффекта встряхивания для прямоугольных сверхпроводящих пластин, изучены критические состояния в образцах с анизотропным пиннингом вихревых линий, а также при наличии фазового перехода порядок–беспорядок в вихревой решетке. Кроме того, исследованы критические состояния в длинной сверхпроводящей полосе в наклонном магнитном поле. Розглянуто теорію критичних станів вихорових ґрат у надпровідниках другого роду без припущення про взаємну перпендикулярність локальних магнітних полів і циркулюючих струмів у зразку. Така теорія дозволила вирішити низку задач для тонких плоских надпровідників у перпендикулярному їхній площині зовнішньому магнітному полі: побудовано теорію ефекту струшування для прямокутних надпровідних пластин, вивчено критичні стани в зразках з анізотропним пінінгом вихорових ліній, а та- кож при наявності фазового переходу порядок–непорядок у вихорових ґратах. Крім того, досліджено критичні стани в довгій надпровідній смузі в похилому магнітному полі. PACS: 74.25.Sv Критические токи; 74.25.Uv Вихревые фазы (включая вихревые решетки, вихревые жидкости и вихревые стекла). Ключевые слова: теория критического состояния сверхпроводников второго рода, эффект встряхивания вихревой среды, анизотропный пиннинг вихревых линий, критическая плотность тока, наклонное магнитное поле. Содержание 1. Введение ........................................................................................................................................... 18 1.1. Типы критических состояний в сверхпроводниках второго рода ........................................ 18 1.2. Случай тонких плоских сверхпроводников. .......................................................................... 19 2. Критическое состояние в сверхпроводниках второго рода произвольной формы ..................... 20 2.1. Уравнения критического состояния ....................................................................................... 20 2.1.1. Учет зависимости cj ⊥ от j& . ...................................................................................... 22 2.1.2. Учет анизотропии пиннинга вихревых линий. ............................................................ 23 2.2. Критическое состояние в тонких плоских сверхпроводниках ............................................. 24 3. Теория эффекта встряхивания вихревой среды в тонких плоских сверхпроводниках второго рода ... 26 3.1. Эффект встряхивания в тонкой прямоугольной сверхпроводящей пластине ..................... 27 3.1.1. Поперечный эффект встряхивания. .............................................................................. 28 3.1.2. Продольный эффект встряхивания. ............................................................................. 29 3.1.3. Общий случай ................................................................................................................ 29 Г.П. Микитик 18 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 3.2. Генерация постоянного электрического поля переменным магнитным полем в сверхпро- водящей полосе ........................................................................................................................ 31 3.2.1. Пластина в параллельном поле. .................................................................................... 31 3.2.2. Полоса в перпендикулярном поле. ............................................................................... 32 4. Критические состояния в тонких плоских сверхпроводниках второго рода с анизотропным пиннингом вихревых линий ............................................................................................................ 34 4.1. Критическое состояние в сверхпроводящей полосе с анизотропным пиннингом ............. 35 4.2. Fishtail-эффект в тонких плоских сверхпроводниках............................................................ 37 4.3. Критическое состояние в сверхпроводящей полосе с переходом порядок–беспорядок в вихревой решетке .................................................................................................................... 39 4.4. Определение анизотропии критической плотности тока по экспериментальным данным 40 5. Критические состояния в тонкой сверхпроводящей полосе в наклонном магнитном поле ...... 41 5.1. Биновские критические состояния ......................................................................................... 42 5.2. Критические Т-состояния с постоянным cj ⊥ ....................................................................... 45 Литературa ............................................................................................................................................ 46 1. Введение 1.1. Типы критических состояний в сверхпроводниках второго рода Понятие критического состояния, введенное Бином [1], широко используется для описания различных фи- зических явлений в вихревой фазе сверхпроводников второго рода с пиннингом вихревых линий (см., напри- мер, [2,3] и ссылки там). Согласно Бину, в критиче- ском состоянии сверхпроводников движущая сила со стороны токов, циркулирующих в образце, уравнове- шивается силой пиннинга, действующей на вихри и препятствующей их перемещению. Критическое со- стояние характеризуется компонентой плотности тока cj ⊥ , перпендикулярной вихревым линиям, так как только эта компонента генерирует движущую силу. В теории критического состояния предполагается, что cj ⊥ , определяемая силой пиннинга, известна, т.е. яв- ляется заданной функцией магнитной индукции B , = ( )c cj j⊥ ⊥ B , и проблема теории состоит в нахожде- нии соответствующих распределений магнитных по- лей и токов в образце. Изучение критических состоя- ний важно не только для понимания различных физи- ческих явлений, но и для практических приложений сверхпроводников второго рода, поскольку именно благодаря возникновению таких состояний эти сверх- проводники способны нести достаточно большие транспортные токи во внешних магнитных полях. Ни- же для простоты предполагаем, что магнитные поля H в сверхпроводнике заметно превышают нижнее критическое поле 1cH , и поэтому в дальнейшем пола- гаем 0= μB H *. Кроме того, рассматриваем только массивные сверхпроводники, предполагая, что их раз- меры существенно превышают лондоновскую длину проникновения магнитного поля в образец. Будем называть критическое состояние биновским, если в каждой точке сверхпроводника плотность тока j перпендикулярна локальному магнитному полю H , = ⊥j j , и, следовательно, = = cj j j⊥ ⊥ . Отметим, что это определение накладывает ограничение на направ- ление токов в критическом состоянии, но не подразу- мевает постоянства cj ⊥ . Биновское критическое со- стояние может быть найдено из статических уравнений Максвелла rot = , div = 0jH H (1) и условий на плотность токов div = 0 ,j (2) = , = 0 ,cj j j⊥ ⊥ & (3) где j& — компонента плотности тока вдоль локально- го магнитного поля H . Такие состояния обычно име- ют место, когда форма сверхпроводника достаточно симметрична и внешнее магнитное поле aH приложе- но вдоль оси симметрии, так что и направление токов диктуется симметрией проблемы. Большинство из- вестных решений проблемы критического состояния описывают как раз биновские состояния. Например, это хорошо известное решение для бесконечной пла- стины во внешнем магнитном поле, параллельном ее поверхности [1]. Это также решение для бесконечно длинного цилиндра с произвольным поперечным сече- нием в магнитном поле, параллельном его оси [2], по- скольку циркулирующие в критическом состоянии токи перпендикулярны этой оси. Биновские критиче- ские состояния также имеют место в бесконечно длин- ных и тонких полосах [4–6] и в тонких дисках [7] в перпендикулярном магнитном поле, даже если cj ⊥ зависит от | | B≡B или от угла между B и нормалью к плоскости образца. Если приложенное магнитное поле наклонено к плоскости бесконечно длинной по- лосы конечной толщины, но остается перпендикуляр- ным ее оси, критические токи текут вдоль этой оси, и биновские состояния опять имеют место. Дальнейшие примеры биновских критических состояний в образцах * В работе используется система единиц СИ. Критические состояния в тонких плоских сверхпроводниках второго рода Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 19 сложной формы могут быть найдены в работах [8–12]. Характерной чертой всех этих биновских состояний является то, что возмущение распределения токов, вы- званное изменением внешнего поля, распространяется по образцу в виде резкого фронта, на котором и проис- ходит изменение направления токов. В реальных образцах несимметричной формы, или если приложенное магнитное поле изменяется не толь- ко по величине, но и по направлению, в критическом состоянии соседние вихревые линии могут быть слегка повернуты друг относительно друга. Это вращение вызывает появление компоненты тока вдоль магнитно- го поля j& [13]. Указанное вращение вихревых линий может привести к их взаимному пересечению [2,13], т.е. к так называемому flux-line cutting. Пересечение вихревых линий происходит, когда компонента плот- ности тока, параллельная магнитному полю j& , пре- вышает некоторую критическую величину cj & . В этой ситуации отдельный вихрь [14] или связка вихрей [15] становятся нестабильны по отношению к винтовому возмущению, и рост этого возмущения приводит к пе- ресечению вихревых линий. Когда и j& и j⊥ равны их критическим значениям cj & и cj ⊥ соответственно, в сверхпроводнике осуществляется так называемое двойное критическое состояние [13,16]. Это состояние реализуется, например, в некоторой области сверхпро- водящего диска или пластины [16,17], когда вращаю- щееся магнитное поле постоянной амплитуды прикла- дывается в их плоскости [18–21]. Двойное критическое состояние может быть, по-прежнему, описано уравне- ниями (1), (2), но со следующими условиями на плот- ность тока = ⊥ +j j j& : = , = .c cj j j j⊥ ⊥ & & (4) Дальнейшее развитие понятие критического состояния с пересечением вихревых линий получило в работах [22–24], в которых учтено влияние этого пересечения на баланс сил в критическом состоянии. Это позволило объяснить наблюдаемый коллапс магнитного момента сверхпроводящей пластины под действием переменно- го магнитного поля [24–26]. Однако во многих реальных ситуациях изменение направления внешнего магнитного поля или несим- метричность формы образца не приводят к пересече- нию вихревых линий в сверхпроводнике, т.е. j& не достигает cj & в критическом состоянии. В таких си- туациях нет явного условия на величину j& за исклю- чением того, что < cj j& & , и статические уравнения (1) и (2) с единственным ограничением = cj j⊥ ⊥ не дос- таточны для того, чтобы найти распределения магнит- ного поля ( )H r и плотности тока ( )j r в критическом состоянии. Проблема описания таких критических со- стояний для специального случая пластины с магнит- ным полем в ее плоскости была решена в [16,17], но в общем случае ее решение до недавнего времени отсут- ствовало. Иными словами, теория критических состоя- ний была не полна. Полный набор уравнений, описы- вающих критическое состояние в образцах произволь- ной формы и при любом квазистатическом изменении вектора приложенного магнитного поля aH , будет приведен в настоящем обзоре. Подчеркнем, что класс критических состояний с < cj j& & соответствует общей ситуации, в то время как хорошо известные биновские и двойные критические состояния — только предель- ные случаи, которые имеют место при = 0j& или = cj j& & соответственно. Такие общие критические состояния, которые в дальнейшем называем критическими Т-состояниями (Т означает transport)*, реализуются даже для простых экспериментальных ситуаций. В частности, они имеют место в пластине, когда циркулярно-поляризованное переменное магнитное поле прикладывается перпен- дикулярно постоянному магнитному полю aH , нор- мальному к плоскости пластины [27]. Другие примеры критических Т-состояний будут рассмотрены ниже. Как указано в работах [16,17], еще один тип крити- ческих состояний может существовать в сверхпровод- никах. В этих состояниях < cj j⊥ ⊥ и = cj j& & , т.е. происходит только пересечение вихревых линий без их транспорта. Описание таких критических С-состояний (С означает cutting) в образцах произвольной формы может быть получено непосредственным обобщением подхода, использованного в [16,17] для сверхпроводя- щей пластины. В дальнейшем такие состояния не рас- сматриваются. Не анализируется нигде ниже также влияние крипа магнитного потока на критическое со- стояние. Соответствующие ссылки могут быть найде- ны, например, в работах [28–33]. 1.2. Случай тонких плоских сверхпроводников Как известно, кристаллы высокотемпературных сверхпроводников имеют форму тонких пластин, и в экспериментах с ними внешнее магнитное поле часто направлено перпендикулярно их плоскости (или под углом к ней). Кроме того, пиннинг вихрей в этих сверхпроводниках зачастую анизотропен. Поэтому изучение критического состояния в тонких плоских сверхпроводниках с анизотропным пиннингом вихре- вых линий представляет особый интерес. Если критическая плотность тока cj ⊥ постоянна, т.е. не зависит ни от величины, ни от направления ло- кального магнитного поля H , то для тонких плоских образцов простейшей формы были получены анали- тические решения уравнений критического состояния [4–7]. Эти решения описывают биновские состояния в тонкой, бесконечно длинной сверхпроводящей полосе [4–6] и в тонком диске [7]. В качестве примера приве- дем решение для полосы. Пусть бесконечно длинная * Это определение есть обобщение определения, использованного в [16]. Г.П. Микитик 20 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 сверхпроводящая полоса шириной 2w и толщиной d w заполняет пространство w x w− ≤ ≤ , < ), поскольку при его получе- нии не учитывалось распределение полей и токов по толщине полосы. Весьма похожий вид имеет решение и для тонкого диска [7]. В случае бесконечно тонкого ( 0d → ) и плоского образца произвольной формы в плоскости xy пробле- ма критического состояния является двумерной, и эф- фективные численные методы ее решения разработаны в работах [10,34] (см. также [3]). При этом, в принципе, могут быть решены задачи, в которых cJ является любой заданной функцией локального zH . Численны- ми методами могут быть исследованы критические состояния и в образцах конечной толщины [35–37], если они имеет такую достаточно простую форму, что проблема критического состояния остается двумерной. Например, такое исследование возможно в диске ко- нечной толщины [37], и в толстой бесконечно длинной полосе с прямоугольным сечением [35,36]. Однако в настоящее время отсутствуют численные результаты, которые описывали бы существенно трехмерные кри- тические состояния. Если толщина d плоского сверхпроводящего об- разца значительно меньше его поперечных размеров, то можно было бы думать, что такие образцы с хоро- шей точностью всегда могут рассматриваться как бес- конечно тонкие. Однако формулы (5)–(7) показывают, что, например, при / 2b w∼ (т.е. при a cH J∼ ) харак- терные zH в образце порядка cJ . При этом компо- нента поля в плоскости пластины, генерируемая тока- ми ( )J x , имеет тот же порядок величины на ее по- верхности, ( , = / 2) = ( ) / 2xH x z d J x . Иными словами, вихревые линии сильно искривлены в образце. Если при этом cj ⊥ зависит от угла θ между направлением локального поля H и нормалью к плоскости пласти- ны, то плотность токов в сверхпроводнике, вообще говоря, неоднородна по z , и проблема даже биновско- го критического состояния остается трехмерной в та- ких тонких образцах. Такая анизотропия пиннинга вихревых линий и связанная с ней угловая зависимость критической плотности тока весьма часто наблюдают- ся в сверхпроводниках второго рода (см., например, работы [38–43] и ссылки в них). Эта анизотропия мо- жет быть обусловлена как собственной анизотропией сверхпроводящих материалов, так и наличием в них протяженных дефектов, таких как двойниковые грани- цы, дислокации, или дефекты, созданные в образце по- сле его облучения тяжелыми ионами. Таким образом, для тонких плоских сверхпровод- ников, которые представляют особый интерес с точки зрения эксперимента, до недавнего времени критиче- ские состояния не были изучены в тех ситуациях, ко- гда учет конечной толщины образца имеет принципи- альное значение для понимания того или иного явле- ния. В частности, это относится к тем сверхпроводни- кам, в которых критическая плотность тока зависит от угла между направлением локального магнитного поля и нормалью к плоскости образца. Кроме того, сама теория критического состояния вихревой решетки бы- ла не полна для сверхпроводников, форма которых недостаточно симметрична, или если внешнее магнит- ное направлено не вдоль оси симметрии образца. В настоящем обзоре изложено необходимое развитие этой теории и объяснено, как свести трехмерную про- блему критического состояния в тонком плоском сверхпроводнике к более простой двумерной проблеме для бесконечно тонкого образца. На основе этого под- хода рассмотрены и решены ряд задач, для которых учет конечной толщины тонкого плоского сверхпро- водника имеет ключевое значение. В частности, дано объяснение так называемого эффекта встряхивания (vortex-shaking эффекта), приведено точное решение уравнений критического состояния в полосе с простой моделью анизотропии пиннинга, проанализированы критические состояния в полосе в наклонном к ее плоскости магнитном поле. 2. Критическое состояние в сверхпроводниках второго рода произвольной формы 2.1. Уравнения критического состояния Критическое состояние успевает установиться в об- разце, если характерное время изменения внешнего магнитного поля aH , / | / |c aj d d dt⊥ H , значительно превышает время течения потока через образец, 2 0 / ffdμ ρ , где d — характерный размер образца, а ffρ — сопротивление течения потока единицы объема. Критические состояния в тонких плоских сверхпроводниках второго рода Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 21 Иными словами, понятие критического состояния мо- жет быть использовано для описания распределений магнитных полей и токов в сверхпроводнике, если ге- нерируемые вихревые электрические поля относитель- но малы 0 . a ff c dH d j dt μ ρ ⊥ (8) Таким образом, идеальное критическое состояние со- ответствует пределу ffρ → ∞ . В дальнейшем условие (8) подразумевается выполненным. Критические Т-состояния с < cj j& & могут быть описаны с помощью следующего подхода [44,45]: ста- тические уравнения (1) и (2) дополняются уравнением Максвелла 0rot = ,μ−E H& (9) где / t≡ ∂ ∂H H& , а E — электрическое поле, генери- руемое изменением приложенного поля aH . Для того чтобы система уравнений (1), (2), и (9) была разреши- ма, к ней необходимо добавить связь плотности тока с электрическим полем [46], т.е. функцию ( , )E j B . Эту связь (вольт-амперную характеристику (ВАХ)) вводим на основе двух хорошо известных физических идей: 1) При заданных j и B , направление E следует из формулы = [ ]×E B v , т.е. [ ],×E B v& (10) где v — скорость вихрей, вызванная силой Лоренца [ ]×j B . Здесь для простоты пренебрегаем так называе- мым углом Холла [47], и поэтому направления v и силы Лоренца совпадают. 2 ) Абсолютная величина E находится из условия | | = .cj j⊥ ⊥ (11) Фактически это условие может быть интерпретировано как следующая ВАХ: | |= 0, < ; | | , > , c c j j j j ⊥ ⊥ ⊥ ⊥→ ∞ E E (12) которая как раз соответствует идеальному критичес- кому состоянию. Чтобы продолжить анализ, введем следующие обо- значения для магнитного поля ( )H r и плотности тока ( )j r в критическом состоянии: ( ) = ( ) ( )HH r r rν , ( ) = ( ) ( )jj r r n r , где H и j есть абсолютные значения магнитного поля и плотности тока, в то время как еди- ничные векторы ν и n определяют их направления. Тогда компонента плотности тока, перпендикулярная магнитному полю, принимает вид = ( ) ( ) .cj⊥ ⊥ ⊥− ≡j j j n rν ν Здесь было учтено условие | |= cj⊥ ⊥j ; единичный вектор ⊥n определяет направление ⊥j , =⊥n ( ( )) / D= −n nν ν и 2= 1 ( )D − nν — нормировочный множитель. Эти формулы приводят к явному выраже- нию для абсолютной величины плотности тока j ( ) = ,c j j D ⊥ H (13) которое есть лишь иная форма условия (11), поскольку D — синус угла между j и H . Сформулируем теперь условие (10). Пусть в момент времени t внешнее маг- нитное поле ( )a tH изменяется на бесконечно малую величину =a a tδ δH H& . При изменении aH критиче- ские токи локально сдвигают вихри в направлении силы Лоренца [ ]×j ν ; этот сдвиг создает электрическое поле вдоль [ [ ]] = ⊥× ×j jν ν , т.e. вдоль вектора ⊥n . Та- ким образом, электрическое поле ( )E r можно предста- вить в виде: = ,e⊥E n (14) где скалярная функция ( )e r — модуль электрического поля. Отметим, что в общем случае электрическое по- ле не параллельно плотности тока ( )j r , если отлична от нуля компонента j& . С учетом формул (13) и (14), уравнений (1), (2), и (9) вполне достаточно для описа- ния критических Т-состояний в образцах произвольной формы. При этом необходимо подчеркнуть, что маг- нитные поля ( )H r и токи ( )j r в критическом состоя- нии в момент времени t tδ+ зависят только от распре- делений полей и токов в предыдущем критическом состоянии, которое имеет место в момент t , и от изме- нения внешнего поля =a a tδ δH H& . Иными словами, критическое состояние зависит от траектории, опи- сываемой концом вектора aH в пространстве магнит- ного поля, а не от конкретного вида временнóй зави- симости ( )aH t [44]. В то же время e пропорциональ- но скорости изменения поля aH& , а не величине его изменения aδH , и поэтому электрическое поле играет только вспомогательную роль при решении проблемы критического состояния. Электрическое поле e теперь находится как реше- ние системы уравнений (1), (2), (9), (13), (14) без ис- пользования специальной ВАХ (12). Явное уравнение на скалярную функцию ( )e r имеет вид [44,45]: ( ) ·{rot rot( ) ( ·rot ) rot( )} ·rot( ) ,c j ⊥⊥ ∂− = ∂ H n E E E H ν ν (15) где E задается формулой (14). Непрерывность маг- нитного поля на поверхности сверхпроводника S дает граничное условие к уравнению (15): ( ) 0 3[ rot rot( ( ))]rot ( ) , 4S a dRμ π ′× ′− = +∫ R E rE r H r& (16) где Sr — произвольная точка на поверхности S , 'S≡ −R r r , = | |R R , а интегрирование идет по объему образца. Правая часть этого граничного условия выра- жает 0μ H& на поверхности сверхпроводника (но дос- тигаемой снаружи) с помощью закона Био и Савара. Если в критическом состоянии сверхпроводника суще- Г.П. Микитик 22 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 ствуют также границы, на которых направление кри- тических токов резко изменяется, или которые разде- ляют области с = cj j⊥ ⊥ от областей с = 0j *, то функция ( )e r должна обращаться в нуль на этих гра- ницах, чтобы обеспечить непрерывность электриче- ского поля e ⊥n там. При практических вычислениях последовательно- сти критических состояний, развивающихся в процессе изменения ( )a tH , часто бывает удобно переписать уравнения (1) и (9) в виде: 0 [ ] = [ rotrot ( )] .jμ × − ×n n n E (17) Это соотношение представляет собой дифференциаль- ное уравнение на углы, определяющие направление j , т.е. единичный вектор = / jn j . Интересно, что это уравнение типа уравнения диффузии, и его решения не обязательно разрывные функции, которые характерны для биновских критических состояний. Иными слова- ми, в отличие от биновских состояний возмущения распределения токов в критических Т-состояниях, во- обще говоря, распространяются по образцу не в виде резких фронтов, а как гладкие волны [44]. Отметим также, что, поскольку распределения магнитных полей и токов в критических состояниях сверхпроводника независимы от скорости изменения магнитного поля aH& , их временная зависимость есть только параметри- зация зависимости от aH . Наконец, выпишем условие применимости излагаемой теории. Так как проекция j на локальное направление H есть ( ) /cj D⊥ nν , усло- вие отсутствия пересечения вихревых линий приводит к следующему ограничению на угол между локальны- ми j и H : 2 | | < , 1 ( ) c c j j ⊥− n n &ν ν (18) где cj & — критическая плотность продольного тока. В заключение сделаем несколько замечаний об электрическом поле. Может оказаться, что электриче- ское поле e ⊥n , полученное с помощью (15), не удов- летворяет условию div ( ) = 0e ⊥n . Чтобы прояснить эту ситуацию, необходимо вспомнить, что движущийся вихрь генерирует электрический дипольный момент [47], и, следовательно, движущаяся вихревая среда характеризуется вектором поляризации P , который есть макроскопическая плотность этого момента. Из результатов работы [47] следует, что = e ⊥−P n , и не- нулевая величина div ( )e ⊥n означает, что в сверхпро- воднике второго рода появляется плотность электриче- ского заряда div− P , которая генерирует потенциаль- ное электрическое поле =p −∇ΦE , описываемое ска- лярным потенциалом Φ . Это потенциальное поле есть часть полного электрического поля, задаваемого внут- ри образца соотношением = e ⊥E n , и подчиняется уравнению div = div ( )p e ⊥E n , т.е. = div ( ),e ⊥ΔΦ − n (19) где divΔ ≡ ∇ . На поверхности образца S поле pE удовлетворяет тому же граничному условию, что и в электростатике диэлектриков [46]: тангенциальные компоненты pE и нормальная составляющая вектора =p p e ⊥+ −E P E n непрерывны на этой поверхности. Так как = 0P вне образца, последнее условие означа- ет, что ( ) = ,p p e + − ⊥− −E E nτ τ (20) где p +E и p−E есть поверхностные потенциальные по- ля, рассчитанные вне и внутри S соответственно, а τ — нормаль к S , направленная наружу. Правая часть формулы (20) дает плотность поверхностного заряда, индуцированного движущимися вихрями в образце. Отметим, что потенциальная часть электрического поля e ⊥n не влияет на магнитные поля и токи в кри- тическом состоянии, поскольку rot = 0pE . Появление этой части связано с условием (14), которое диктует направление электрического поля в образце. Интерес- но, что и индукционная часть электрического поля pe ⊥ −n E , генерирующая критические состояния, и его потенциальная часть pE могут быть измерены экспериментально в определенных ситуациях [48]. Вообще говоря, в процессе изменения aH происхо- дит миграция индуцированных зарядов = div ( )eρ ⊥n , которая приводит к появлению токов, удовлетворяю- щих div = ( / )tρ− ∂ ∂j и нарушающих уравнение (2). Однако эти токи пропорциональны квадрату aH& и пренебрежимо малы при условии (8). 2.1.1. Учет зависимости cj ⊥ от j& . Без учета кри- па магнитного потока критическая плотность тока мо- жет быть определена из условия, что соответствующий крип-активационный барьер U равен нулю при = cj j⊥ ⊥ . Выше подразумевалось, что плотность тока cj ⊥ может зависеть от B , но что она совершенно не- зависима от j& . Иными словами, неявно предполагался следующий функциональный вид U : = ( , )U U j⊥ B . Однако, крип-активационный барьер U , вообще гово- ря, может зависеть не только от j⊥ и B , но также от плотности j& , которая характеризует непараллель- ность соседних вихревых линий, т.е. в общем случае имеем = ( , , )U U j j⊥ B& . Тогда критическая плотность тока cj ⊥ , определяемая условием ( , , ) = 0U j j⊥ B& , принимает вид = ( , )c cj j B j⊥ ⊥ & [45]. Можно ожидать, что эта зависимость cj ⊥ от продольной плотности то- ка j& существенна, по крайней мере, тогда, когда j& близка к своему критическому значению cj & , и, следо- вательно, ( , )c cj j⊥ B & в общем случае отличается от * При изменении aH эти границы могут смещаться в сверхпроводнике. Их новые положения находятся из непрерывности H в образце. Критические состояния в тонких плоских сверхпроводниках второго рода Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 23 ( ,0)cj ⊥ B . Аналогично, активационный барьер cutU для пересечения вихревых линий есть функция обеих компонент плотности тока и магнитной индукции, т.е. cut cut= ( , , )U U j j⊥ B& , и условие cut = 0U дает = ( , )c cj j j⊥B& & . На рис. 1 при фиксированном B схе- матически показаны зависимости cj ⊥ от j& и cj & от j⊥ в плоскости ||j j⊥ . Отметим, что эти зависимости пересекаются, когда одновременно удовлетворены уравнения ( , , ) = 0U j j⊥ B& и cut ( , , ) = 0U j j⊥ B& . Это может происходить только в изолированных точках плоскости j j⊥ & , так как барьеры U и cutU характери- зуют различные физические процессы и являются су- щественно разными функциями компонент плотности тока. Эти точки соответствуют двойным критическим состояниям, в которых = cj j⊥ ⊥ и = cj j& & . На рис. 1 верхний/нижний и правый/левый участки кривых меж- ду четырьмя точками описывают зависимость ( )cj j⊥ & в критическом Т-состоянии и функцию ( )cj j⊥& в кри- тическом C-состоянии. Предложенный учет зависимо- сти ( )cj j⊥ & в критическом Т-состоянии в некотором смысле напоминает идею работ [22–24], в которых было учтено влияние пересечения вихревых линий на баланс сил в двойном критическом состоянии. Зависимость ( )cj j⊥ & приводит к замене ( )cj H⊥ на ( , )cj H j⊥ & в формуле (13), которая теперь принимает вид уравнения на j 2= ( , 1 ).cjD j j D⊥ −H (21) Зависимость ( )cj j⊥ & вызовет также соответствующую модификацию (15). Однако все это не приводит к принципиальному усложнению задачи. Отметим, что в работах [49,50] была исследована феноменологическая модель критического состояния, в которой, по сущест- ву, некоторая зависимость cj ⊥ от j& и cj & от j⊥ была введена. Хотя направление электрического поля в этой модели не удовлетворяло условию (14), достаточно хорошее описание соответствующих эксперименталь- ных данных, достигнутое в работах [49,50], по-ви- димому, свидетельствует о важности учета этой зави- симости в реальных ситуациях. 2.1.2. Учет анизотропии пиннинга вихревых линий. При выводе (14) было предположено, что изменение aH приводит к сдвигу вихрей в направлении локаль- ной силы Лоренца [ ]×j B . Однако в случае анизотроп- ного пиннинга это предположение может не выпол- няться (например, известно, что вихрь перемещается вдоль двойниковой границы кристалла и при силе Ло- ренца, отклоненной от плоскости этой границы [51]). Тем не менее даже в анизотропном случае направление сдвига вихревых линий может быть выражено через направления j и / H≡Hν [52,53]. Пусть ток с плотностью j течет в плоскости, пер- пендикулярной локальной магнитной индукции B , и его направление в этой плоскости задается углом φ , = = (cos ,sin )n n φ φ⊥ . Направление силы Лоренца [ ]×j B обозначим как (cos ,sin )ψ ψ (т.е. = / 2ψ φ π− ). В случае анизотропной силы пиннинга ( )pf ψ вихрю выгодно начать двигаться в направлении, определяе- мом углом, отличным от ψ . Механизм этого эффекта объясняется на рис. 2. Проекция силы Лоренца f , приложенной вдоль направления ψ , на некоторое дру- гое направление 1ψ есть 1cos ( )f ψ ψ− . Если эта про- екция достигает значения 1( )pf ψ , т.е. если 1 1 ( ) = , cos ( ) pff ψ ψ ψ− то движение вихрей в этом направлении 1ψ становит- ся возможным. Критическая величина силы Лоренца Рис. 1. Зависимости cj ⊥ от j& и cj & от j⊥ (сплошные кри- вые), показанные схематически на плоскости j j⊥ & при фик- сированном B [45]. Точки пересечения линий соответству- ют двойным критическим состояниям, в которых = cj j⊥ ⊥ и = cj j& & . Показаны также направления электрического поля для критических Т- и C-состояний. j|| j  E E C-ñîñòîÿíèÿ j ( j ) c|| T-ñîñòîÿíèÿ Jc (j )  || E E Рис. 2. Схематический рисунок, объясняющий, почему в анизотропном сверхпроводнике направление, в котором вихрь начинает двигаться, может отличаться от направления действующей силы [53]. Эллипс показывает угловую зави- симость максимальной силы пиннинга ( )pf ψ . Штриховые линии — проекции силы < pf f , действующей вдоль ψ , на некоторые другие направления. Все эти проекции достигают эллипса при углах, отличных от ψ . Жирная стрелка показы- вает минимальную силу этого типа, ( )cf ψ . При = ( )cf f ψ вихрь начинает двигаться в направлении 1ψ . fpy fpx fc fp  1 Г.П. Микитик 24 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 cf есть минимум силы f по отношению к углам 1ψ . Это условие минимума дает следующие формулы [52,53] для угла 1ψ 1 1 1 1 ( ) / = arctg = ( ) ( , )1 arctg , ( , ) p p c c df d f j B j B ψ ψδ ψ ψ ψ φ φ φ ⊥ ⊥ ⎧ ⎫⎪ ⎪≡ − − ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎧ ⎫∂= − ⎨ ⎬∂⎩ ⎭ (22) силы ( )cf ψ и для критической плотности тока ( , )cj B φ⊥ , 2 21 1( , ) = ( ) = [ ( )] [ ( )] .c c p pj B B f f fφ ψ ψ ψ⊥ ′+ (23) Из построения на рис. 2 видно, что критическая сила ( )cf ψ в направлении ψ , которая определяет критиче- скую плотность тока ( )cj φ⊥ , всегда меньше (или рав- на) соответствующей силы пиннинга ( )pf ψ . При этом значении силы ( )cf ψ вихри начинают двигаться в на- правлении 1ψ , задаваемом соотношением (22). Следо- вательно, теперь единичный вектор u вдоль электри- ческого поля = eE u дается выражением = cos [ ] sin ,δ δ⊥ ⊥+ ×u n nν (24) в котором угол δ описывает изменение направления электрического поля из-за анизотропии пиннинга. Ес- ли плотность тока cj ⊥ изотропна в плоскости, перпен- дикулярной локальному магнитному полю, то из (22) получаем = 0δ , и, следовательно, u совпадает с ⊥n . Если же ( ( , ) / ) 0cj B φ φ⊥∂ ∂ ≠ , то 0δ ≠ , вихрь движется не вдоль силы Лоренца, и направление электрического поля u отличается от ⊥n . Уравнения (22) и (24) устанавливают соотношение между ⊥n и u . Когда 0δ ≠ , изменение в уравнениях критического состояния состоит только в том, что e ⊥n в (14) заменяется на eu , а в формуле (13) ( )cj ⊥ H пе- реходит в ( , )cj ⊥ ⊥H n . 2.2. Критическое состояние в тонких плоских сверхпроводниках Рассмотрим теперь практически важный случай тонких плоских сверхпроводников второго рода, по- мещенных в магнитное поле, перпендикулярное их плоскости. Поместим систему координат так, что ее плоскость xy совпадает со средней плоскостью пла- стины, и соответственно ось z перпендикулярна верх- ней и нижней поверхностям образца, который в плос- кости xy может иметь произвольную форму. На рис. 3 в качестве примера показан случай образца прямо- угольной формы. Внешнее магнитное поле azH на- правлено вдоль z . Предполагается, что толщина об- разца d много меньше, чем его характерный попереч- ный размер ,L a b∼ : d L . Уравнения = 0∇⋅ j и = 0∇⋅H в главном порядке по малому параметру /d L приводят к независимости zH от z внутри об- разца, т.е. к = ( , )z zH H x y и к = 0zj . Тогда для опи- сания критического состояния можно использовать следующее представление: = ( , , , )(cos ( ),sin ( ),0) , ˆ( ) = ( , ) ( ) , ( ) = ( ( ), ( ),0) , c z x y j H H x y h h h ϕ θ ψ ϕ ϕ + j r r H r z r h r r r (25) где zˆ — единичный вектор вдоль z ; = ( , , )x y zr ; ( , , , )cj Hϕ θ ψ — абсолютная величина критической плотности тока в точке, в которой элемент вихревой линии задается углами ψ и θ , tg = /y xh hψ , 2 2 1/2tg = ( ) /x y zh h Hθ + , при этом cj течет в плоскости xy в направлении, определяемом углом ϕ . Подчерк- нем, что зависимость cj от ориентации локального H существует даже при постоянном значении cj ⊥ , если вектор j не перпендикулярен H , и эта зависимость описывается формулой (13), в которой D теперь зада- ется формулой 1/22 2= [1 ( ) ] .cos sinD ϕ ψ θ− − (26) Однако в общем случае критическая плотность тока cj ⊥ , перпендикулярного H , зависит от абсолютной величины локального магнитного поля 2 2 2 1/2= ( )z x yH H h h+ + и углов ϕ ψ− , θ и ψ . Зависимость от ψ появляется, если только имеется анизотропия пиннинга в плоско- сти образца, а зависимость пиннига от θ может быть связана как с собственной анизотропией сверхпрово- дящего материала, так и с протяженными дефектами, возникающими после облучения образца, например, тяжелыми ионами. В дальнейшем ограничимся рас- смотрением только аксиальной анизотропии пиннинга, Рис. 3. Фронт магнитного потока, проникающий в тонкую прямоугольную сверхпроводящую пластину, в условиях уве- личивающегося магнитного поля, перпендикулярного плос- кости пластины [52]. Верхний рисунок показывает двумер- ную кривую 0γ , которая формирует экватор трехмерного фронта γ , показанного на нижнем рисунке. –a a –b b y x z x 2D êðèâàÿ 0 0 3D ôðîíò ïîòîêà  d/2 –d/2 a–a Критические состояния в тонких плоских сверхпроводниках второго рода Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 25 когда критическая плотность тока cj ⊥ , текущего в плоскости xy (т.е. при = / 2ϕ ψ π− ), может зависеть лишь от угла θ (и от H ), но не от ψ . Если внешнее магнитное поле aH возрастает, то при не слишком больших aH в сверхпроводнике су- ществует свободное от вихрей и токов ядро (рис. 3). Поверхность этого ядра γ представляет собой прони- кающий фронт, который разделяет области сверхпро- водника, занятую вихревыми линиями и свободную от них. Будем описывать этот фронт функцией = ( , )z z x yγ . В предельном случае бесконечно тонкого сверхпроводника ( 0d → ) фронт можно рассматривать как плоскую кривую 0γ , которая образует внешнюю кромку (экватор) поверхности γ , поскольку внутри этого контура = 0zB . В случае малой, но конечной толщины d L , компонента zB , по-прежнему, при- близительно равна нулю внутри 0γ , так как в этой области вихревые линии практически параллельны плоским поверхностям образца. Если плотность токов в критическом состоянии не изменяется по толщине образца d , то в главном по- рядке по малому параметру /d L такие сверхпровод- ники могут рассматриваться как бесконечно тонкие. В этом случае проблема критического состояния, кото- рая состоит в вычислении распределения магнитных полей zH , перпендикулярных плоскости образца, и циркулирующих в сверхпроводнике токов, является двумерной. Эффективные численные методы решения двумерной проблемы критического состояния в беско- нечно тонких плоских сверхпроводниках произволь- ной формы разработаны в работах [3,10,34]. Однако, как уже отмечалось выше, если собственные поля то- ков, циркулирующих в критическом состоянии сверх- проводника, приводят к заметному искривлению вих- ревых линий в образце, и если cj ⊥ зависит от θ , то плотность токов в сверхпроводнике, вообще говоря, неоднородна по z , и проблема критического состоя- ния остается трехмерной даже при d L . Тем не ме- нее малость параметра /d L позволяет расщепить эту трехмерную проблему на одномерную проблему попе- рек толщины образца и на двумерную проблему в его плоскости [30,52]. Задача поперек толщины образца решается в общем виде, и в частности, это решение дает неявное соотно- шение между критическим значением cJ листового тока, т.е. проинтегрированной по толщине плотности тока, и полем zH [30,52], /2 0 = , 2 ( , ) Jc c z d dh j H h⊥∫ (27) где ( , )c zj H h⊥ есть только другое обозначение ( , )cj H θ⊥ при = / 2ϕ ψ π− с = coszH H θ и = sinh H θ . Это соотношение будет необходимо для решения двумерной задачи. Отметим, что если пин- нинг вихревых линий является анизотропным, и cj ⊥ зависит от направления локального магнитного поля, то согласно (27) критическое значение cJ листового тока, вообще говоря, не равно cj d⊥ и зависит от zH . Двумерная проблема в плоскости образца определя- ется уравнением сохранения листового тока J , div = 0,J (28) и законом Био и Савара, связывающим ( )J r и ( )zH r в образце, 2 3 [ ] ( ) = , 4 z az S H H d r Rπ × ′+ ∫ R Jr (29) где = ′−R r r ; r и ′r — двумерные векторы в плоско- сти xy , а интегрирование проводится по площади об- разца S . Эти уравнения должны быть дополнены ус- ловиями критического состояния, которые гласят, что для точек ( ,x y ) внутри контура 0γ на рис. 3 ( , ) = 0,zH x y (30) а всюду вне этого контура ток J в образце равен сво- ему критическому значению cJ , ( , ) = ( ),c zJ x y J H (31) которое определяется формулой (27). Подчеркнем, что зависимость ( )c zJ H происходит не только от зависи- мости cj ⊥ от H , но и от угловой зависимости крити- ческой плотности тока в случае аксиальной анизотро- пии пиннинга. Используя численные методы, двумерную проблему критического состояния можно решить при произ- вольной форме сверхпроводника и при любой зависи- мости ( )c zJ H [3,10,34]. Такое решение дает функции ( , , )z azH x y H , ( , , )azJ x y H и 0 ( , , )azx y Hϕ , где 0 ( , , )azx y Hϕ определяет направление тока ( , , )azx y HJ в плоскости xy : ( , , ) =azx y HJ 0 0(cos ,sin )J ϕ ϕ . Из решения также находится положение границы 0γ при произвольном azH . Знание 0 ( , , )azx y Hϕ дает и угол 0 0( , , ) = ( , , ) / 2az azx y H x y Hψ ϕ π− , определяющий на- правление тангенциального магнитного поля (вих- ревых линий) на поверхности образца = /2| =z dh 0 0(cos ,sin )th ψ ψ= ⋅ , где = / 2th J . Рисунок 4, полу- ченный на основе численного решения уравнений (28)–(31) для случая прямоугольной пластины, демон- стрирует изменение ориентации вихревых линий по мере увеличения поля azH . Это изменение есть свой- ство, характерное для всех сверхпроводников не слиш- ком симметричной формы, т.е. отличных от кругового диска или бесконечно длинной полосы. Это свойство следует и из приближенного аналитического решения для бесконечно тонкой пластины в форме эллиптиче- ского диска, в которой =c cJ j d⊥ [54]. Зная решения одномерной и двумерной задач, мож- но приближенно описать и трехмерное критическое состояние. Анализ, проведенный в работе [52], пока- зал, что хотя в области, где 0zB ≠ , вихревые линии искривлены, но кручение этих линий отсутствует, и Г.П. Микитик 26 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 они являются плоскими кривыми. Направление токов при этом перпендикулярно вихревым линиям, и, сле- довательно, в этой области сверхпроводника осуществ- ляется биновское критическое состояние. Иная ситуа- ция имеет место в области неполного проникновения магнитного потока в сверхпроводник, т.е. в области внутри контура 0γ , в которой 0zB ≈ . В этом случае вихри, заключенные по толщине пластины в интервале ( , ) | | / 2z x y z dγ ≤ ≤ (с ,x y внутри 0γ ), практически параллельны плоскости xy и, значит, для них / 2θ π≈ . Рассмотрим самую простую ситуацию, когда критическая плотность тока cj ⊥ постоянна. В этом случае получаем, что граница свободного от вихрей ядра ( , , )azz x y Hγ определяется условием ( , , ) = 2 ( , , ) ,az c azJ x y H j d z x y Hγ⊥ ⎡ ⎤−⎣ ⎦ (32) в котором 2 2 1/2= | | = ( )x yJ J J+J . Исключая azH из функций 0 ( , , )azx y Hψ и ( , , ) = ( , , ) / 2t az azh x y H J x y H в области внутри контура 0γ , находим зависимость 0 ( , , )tx y hψ . По этой зависимости формула 0 = cot ( )t t h h ψ ϕ ψ∂ − −∂ (33) позволяет найти угол ( , , ) ( , , )x y z x y zϕ ψ− между ло- кальными направлениями токов и вихревых линий в точке ( , , )x y z , где z определяется соотношением ( , , ) = ( , , ) /az t az cz z x y H h x y H jγ ⊥− . Подчеркнем, что / 2ϕ ψ π− ≠ , и, следовательно, токи не перпендику- лярны вихревым линиям, если внутри контура 0γ про- исходит изменение ориентации поверхностного поля с ростом azH . Иными словами, в области неполного проникновения магнитного потока в образец могут осуществляться критические Т-состояния. Из решения для бесконечно тонкой пластины (рис. 4) ясно, что эти Т-состояния всегда имеют место, если форма образца в плоскости xy отлична от диска или бесконечно длин- ной полосы. Условие отсутствия пересечения вихре- вых линий (18) в данном случае сводится к | cot ( ) |< /c cj jϕ ψ ⊥− & и представляет собой ограниче- ние на 0| / |t th hψ∂ ∂ , выполнение которого должно проверяться в каждом конкретном случае. В заключение этого раздела кратко обсудим еще один эффект, который невозможно объяснить, прене- брегая толщиной тонкого сверхпроводника. В работе [55] были проведены магнитооптические исследования профилей магнитного поля на верхней поверхности тонкой прямоугольной пластины YBa 2 Cu 3O 7 δ− , по- мещенной в перпендикулярное ее поверхности маг- нитное поле, и было сделано следующее интересное наблюдение. Если в сверхпроводник с помощью облу- чения тяжелыми ионами вводились протяженные де- фекты под небольшим углом к его оси с (т.е. к нормали к его поверхности), то появлялась асимметрия профи- лей магнитного поля относительно центральной линии образца. Необычность этого эффекта состояла в том, что его невозможно объяснить в рамках уравнений (28)–(31), полученных в главном порядке по малому параметру /d L . При любой зависимости ( )c zJ H профили магнитного поля будут симметричны в таких образцах прямоугольной формы. Чтобы получить асимметрию профилей, уравнение (29) необходимо записать с учетом членов следующего порядка по /d L . На примере бесконечно длинной сверхпроводя- щей полосы это сделано в работе [56], и для асиммет- рии профилей магнитного поля на ее верхней поверх- ности ( ) ( )z zH x H x + +− − была получена формула: /2 /2 ( ) ( ) = ( , ) . d z z y d d H x H x zj x z dz dx + + − − − ∫ (34) Здесь ось z перпендикулярна плоскости полосы, а ось x направлена по ее ширине, и ее начало находится на продольной оси образца. Из формулы (34) следует, что асимметрия профилей ( )zH x может возникнуть, если только распределение плотности тока yj поперек толщины полосы не симметрично относительно ее средней плоскости = 0z . Введение в образец наклон- ных протяженных дефектов как раз и приводит к появ- лению подобной асимметрии распределения токов [56]. Это и объясняет результаты экспериментов [55]. 3. Теория эффекта встряхивания вихревой среды в тонких плоских сверхпроводниках второго рода В экспериментах [25,57] было обнаружено, что до- бавление слабого осциллирующего магнитного поля, перпендикулярного сильному постоянному магнитно- Рис. 4. Линии тока J в тонкой прямоугольной сверхпрово- дящей пластине с отношением сторон 1:4 и изотропным пиннингом, = =c cJ j d⊥ const. для двух значений приложен- ного магнитного поля / = 0,2az cH J (сплошные линии) и / = 0,8az cH J (штриховые линии) [52]. Стрелки, перпенди- кулярные линиям тока и имеющие длину, пропорциональ- ную | |J , указывают направление вихревых линий на по- верхности бесконечно тонкого сверхпроводника, а также вихревых линий, лежащих на разной глубине в пластине малой, но конечной толщины. H/Jc = 0,2 H/Jc = 0,8 Критические состояния в тонких плоских сверхпроводниках второго рода Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 27 му полю, приводит к быстрому затуханию токов, цир- кулирующих в критическом состоянии сверхпровод- ников второго рода. Поскольку слабое переменное магнитное поле «встряхивает» вихревую среду, сфор- мированную большим постоянным полем, описанное явление затухания токов и связанной с ними намагни- ченности будем в дальнейшем называть эффектом встряхивания (vortex-shaking эффектом)*. В работе [25] постоянное и переменное магнитные поля лежали в плоскости сверхпроводящей пластины, а в экспери- ментах [57] только осциллирующее поле прикладыва- лось в плоскости образца, в то время как постоянное поле было перпендикулярно плоскости пластины. Эти две постановки экспериментов требуют различного подхода при объяснении их результатов. В первом случае, когда оба поля лежат в плоскости пластины, вихревые линии могут пересекаться в образце, и для объяснения экспериментов [24–26] в работах [22–24] была разработана соответствующая теория. Во втором случае пересечения вихревых линий не происходит, так как сверхпроводящие токи циркулируют в плоско- сти пластины, а вихревые линии почти перпендику- лярны ей (см. условие (18)). Объяснению эффекта встряхивания вихревой среды во втором случае по- священа данная глава обзора, которая основана на ра- ботах [58–61]. Релаксация необратимой части намагниченности в экспериментах [57] была примерно экспоненциальной по времени, и, следовательно, эффект встряхивания вихревой среды позволяет существенно расширить область обратимого поведения намагниченности на плоскости магнитное поле Н–температура T . Исполь- зуя этот эффект, плавление вихревой решетки в кри- сталлах 2 3 7–δYBa Cu O было обнаружено [62] при тем- пературах, очень близких к критической температуре cT , где до этого его не удавалось наблюдать. Исполь- зуя этот же метод встряхивания, было открыто [63], что переход порядок–беспорядок в вихревой решетке 2 2 2 8Bi Sr CaCu O является переходом первого рода, не- смотря на то, что обычно при низких температурах пиннинг вихревой решетки маскирует соответствую- щий скачок равновесной намагниченности. В настоя- щее время метод встряхивания вихревой среды ис- пользуется в различных экспериментах со сверхпро- водниками второго рода (см., например, [64–67]). Следует заметить, что иногда встряхивание вихревой решетки производят переменным магнитным полем, параллельным постоянному магнитному полю, и на- блюдают некоторую релаксацию токов и в этом случае [68–70]. Однако этот эффект, по-видимому, связан с существованием двух разных фаз вихревой решетки в образце, одна из которых метастабильна, и встряхива- ние приводит к «отжигу» метастабильного состояния. Еще один интересный эффект, который, как будет видно далее, тесно связан с эффектом встряхивания, обнаружен и исследован в работах [71,72] (см. также [73]). Установлено, что если большое постоянное и малое переменное магнитные поля прикладываются перпендикулярно плоскости тонкой сверхпроводящей полосы, тогда эта полоса проявляет омическое сопро- тивление при токах, много меньших критического тока cI . Наблюдавшееся постоянное во времени падение напряжения вдоль полосы означало, что имелся непре- рывный перенос вихрей поперек образца, несмотря на то, что он находился в критическом состоянии с током < cI I . Хотя авторы работ [71,72] не объяснили обна- руженный эффект, они предложили простые формулы, которые описывали все особенности эксперименталь- ных данных. Измеряемое падение напряжения U было пропорционально и амплитуде, и частоте переменного магнитного поля, а также приложенному транспортно- му току I вдоль полосы, пока этот ток был меньше критического значения cI . Кроме того, они экспери- ментально установили, что 1cU I −∝ , и что напряжение U зависит от температуры T и от величины большого постоянного поля 0H только через 0( , )cI T H . 3.1. Эффект встряхивания в тонкой прямоугольной сверхпроводящей пластине Принято считать, что малое переменное магнитное поле, приложенное перпендикулярно большому посто- янному полю, только периодически наклоняет вихри в сверхпроводнике на малый угол. Это действительно так, если вихревая решетка находится в равновесном со- стоянии. Однако, когда сверхпроводник находится в критическом состоянии, т.е. когда критические токи циркулируют в образце, периодический наклон вихре- вых линий сопровождается их дрейфом [58–60]. Этот дрейф генерирует постоянное электрическое поле в об- разце, которое и приводит к затуханию циркулирующих в сверхпроводнике токов. Именно этот дрейф объясняет эффект встряхивания. Здесь будет изложена теория это- го эффекта для тонких плоских сверхпроводников вто- рого рода. Для определенности будем рассматривать образец в форме прямоугольной пластины. Пусть тонкая прямоугольная пластина толщиной d и с поперечными размерами 2w и 2L ( d w , L ) занимает пространство | |x w≤ , | |y L≤ , | | / 2z d≤ ; постоянное внешнее магнитное поле azH направлено по оси z , в то время как слабое переменное магнитное поле = cosach h tω приложено вдоль x , т.е. в плоско- сти пластины. Для простоты предполагаем, что крити- ческая плотность тока cj ⊥ , перпендикулярная локаль- ной магнитной индукции B , постоянна. Поле azH считаем достаточно большим, так что оно превосходит не только нижнее критическое поле 1cH , но и поле полного проникновения магнитного потока в пластину, равное = ( / ) ln (2 min [ , ] / )p cH j d e w L dπ⊥ ⋅ [35]. Кро- * Используется также название «коллапс магнитного момента» [24–26]. Г.П. Микитик 28 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 ме того, чтобы не усложнять физические соображения математическими деталями, также предполагаем, что / 2az cH h J  , где =c cJ dj ⊥ . Это позволяет не рассматривать влияние собственных полей токов на форму вихревых линий в пластине. Строго говоря, описание эффекта встряхивания в прямоугольной пластине требует решения трехмерной проблемы критического состояния. Однако, используя подход разд. 2.2, опять «расщепляем» трехмерную проблему на одномерную проблему критического со- стояния поперек толщины образца и на двумерную проблему для бесконечно тонкой пластины. Иными словами, сначала рассматриваем малый участок пла- стины вокруг некоторой точки ( , )x y как «бесконеч- ную» пластину толщиной d , помещенную в постоян- ное магнитное поле ( , )zH x y и в переменное поле = sinach h tω , по которой течет ток ( , ) =x yJ ( , ,0)x yJ J= ( J есть плотность тока, проинтегрирован- ная по толщине). Постоянное электрическое поле E , по- лученное в результате решения одномерной задачи, затем используем как локальное электрическое поле ( , )x yE для бесконечно тонкого сверхпроводника при вычисле- нии временных зависимостей ( , )J x y и ( , )zH x y . Рассмотрим сначала два простых предельных слу- чая, которые описывают так называемые поперечный и продольный эффекты встряхивания в бесконечно длинной сверхпроводящей полосе. Первый из них со- ответствует случаю L w , а второй — L w . По- скольку переменное магнитное поле направлено по x , т.е. вдоль стороны, которая имеет размер w , а токи в критическом состоянии полосы текут вдоль ее длины, т.е. вдоль max ( , )w L , то в случае поперечного эффекта переменное магнитное поле перпендикулярно токам, а в случае продольного эффекта оно параллельно им. 3.1.1. Поперечный эффект встряхивания. Начнем с поперечного эффекта встряхивания в полосе [59,74], когда w L . В этом случае нетрудно получить выражение для электрического поля E из простых наглядных соображений (рис. 5). При условии / 2az cH h J  вихревые линии в любой момент времени t представляют собой прямые, которые лежат в плоскости x z− под углом = ( ) /ac zh t Hθ к оси z . Токи с плотностью =c cj j ⊥± текут вдоль y и их рас- пределение по толщине плаcтины показано на этом же рисунке. Точки z+ и z− , в которых плотность тока cj меняет знак, находятся из условия, что cj , проинтег- рированная по толщине, равна J . В этих точках вих- ревая линия остается неподвижной при изменении ach , поскольку здесь движущая сила равна нулю. В резуль- тате такого анализа находим, что в течение одной по- ловины цикла ( 0 /t π ω≤ ≤ ) каждая линия поворачива- ется вокруг неподвижной точки с координатой = = / (2 )cz z J j+ ⊥ , а в течение второй половины ( / 2 / )tπ ω π ω≤ ≤ вокруг другой неподвижной точки с = =z z z− +− . В итоге вихревая линия «шагает» вдоль x (рис. 5), и ее сдвиг за полный цикл переменного магнитного поля есть max 2 = 2( ) tg = . c z Jh x z z j H θ+ − ⊥Δ − (35) Если учесть собственные поля токов, то эта формула обобщается следующим образом [59]: 2= [ ( )] ,p c z J x h h J j H⊥ Δ − (36) где ( ) = ( | |) / 2p ch J J J− — поле полного проникнове- ния параллельного магнитного потока в пластину с током J ; =c cJ j d⊥ . Формула (36) верна, если ( )ph h J≥ . В противном случае х-компонента магнит- ного поля не проникает полностью в образец, и имеет- ся участок вихревой линии, который совершенно не- подвижен, и поэтому = 0xΔ . Иными словами, дрейф вихревых линий возникает, если переменное магнит- ное поле имеет достаточную величину для того, чтобы проникнуть в плоский сверхпроводник по всей его толщине. В этом случае, как видно на рис. 5, вихревые линии периодически наклоняются несимметрично от- носительно центральной плоскости образца = 0z , и именно это приводит к смещению этих линий перпен- дикулярно циркулирующим токам. Электрическое поле, генерируемое сдвигом вихре- вых линий, есть = ( / 2 )y zE xBω π Δ , и, следовательно, окончательно приходим к формуле 0 = 0 , < ( ) ; = [ ( )] , ( ) , y p y p p E h h J dJ E h h J h h J μ ω π − ≥ % (37) Рис. 5. Геометрия полосы и приложенных магнитных полей (верхняя вставка). Вихревая линия, «шагающая» слева на- право через участок полосы (который рассматривается как «бесконечная» пластина), показана при временах / = 0tω π , 1, 2, 3 [74]. Точки, вокруг которых поворачивается вихревая линия, отмечены кружками. Здесь / = 5ch J , / = 0,5cJ J , что дает = = 0,25z z d+ −− и 0= 9,5( / )zx J B dμΔ ; xΔ — сдвиг вихревой линии за период переменного поля; x изме- ряется от произвольной точки «пластины». Схема на правой вставке показывает профили тока поперек толщины полосы во время первой и второй половин периода. 0 0,5 1,0 1,5 2,0 –0,5 0 0,5 z / d/d 0 1 2 3 1 2 –jc0 0 jc x, h z, Ha, Bz –w w d J J z– z+ x/ x «ïëàñòèíà» ïîëîñà Критические состояния в тонких плоских сверхпроводниках второго рода Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 29 Рис. 6. Сдвиг вихревой линии при увеличении магнитного поля от ach до ach hδ+ [60]. Жирные сплошные линии — проекции вихревой линии на плоскость xy . При увеличении наклона этой линии она одновременно смещается вдоль y от 0=y y к 0 0=y y yδ+ . Проекции сдвигов элементов вихре- вой линии показаны стрелками с компонентами ( )x zδ и 0yδ . Эти стрелки перпендикулярны локальным токам ( )cj z (сплошные стрелки), текущим в плоскости xy под углом ( )zϕ к оси x . x j (z) Jx ac, h y (z) (d/2) (–d/2) y0 x äðåéô y + y0 0 y0 где / cJ J J≡% . Описанная картина движения вихревой линии была предложена много лет назад в работе [75], и формула (37) эквивалентна выражению (2.8) из этой работы. 3.1.2. Продольный эффект встряхивания. Рас- смотрим теперь продольный эффект встряхивания в полосе [60], когда L w и переменное магнитное поле направлено вдоль длины образца. В отличие от поперечного эффекта встряхивания наклон вихревых линий в этом случае симметричен относительно плос- кости = 0z и происходит вдоль токов xJ . Механизм движения вихревых линий в у-направлении (т.е. пер- пендикулярно токам) теперь совершенно другой, чем при поперечном встряхивании, и он объясняется на рис. 6. Для того чтобы вихревая линия наклонилась вдоль x , плотность токов ( )zj должна иметь компо- ненту yj , которая антисимметрична по z . С другой стороны, требование, что плотность тока, проинтегри- рованная по толщине образца, равна xJ , приводит к ненулевой компоненте xj . Так как элементы вихревой линии двигаются вдоль силы Лоренца, то наклон этой линии обязательно сопровождается ее сдвигом в на- правлении [ ]x z×J H . Отметим, что направление этого сдвига не зависит от того, увеличивается или умень- шается переменное магнитное поле. Поэтому осцилля- ции этого поля приводят к непрерывному дрейфу вих- ревых линий перпендикулярно току xJ . Анализ этого дрейфа в случае / 2az cH h J  дает следующее выражение для электрического поля [60]: 0= ( ) ,x x d E hg J μ ω π % (38) где функция ( )g u определяется соотношением ( ) = arsinh (1/ )u g g g , и /x x cJ J J≡% . Отметим существенную разницу между продоль- ным и поперечным эффектами встряхивания. При по- перечном встряхивании магнитные поля и токи строго перпендикулярны друг другу, и все критические со- стояния являются биновскими. При продольном встря- хивании угол между локальными магнитными полями и токами в рассматриваемом случае az cH h J  также близок к / 2π , однако строгой перпендикуляр- ности полей и токов нет, и при продольном встряхива- нии (а также в общем случае) осуществляются крити- ческие Т-состояния. Эта небольшая неперпендикуляр- ность приводит к заметной неколлинеарности токов поперек толщины образца. При продольном встряхи- вании распределение токов по толщине полосы в раз- личные моменты времени показано на рис. 7. 3.1.3. Общий случай. Дрейф вихревых линий в пря- моугольной пластине при произвольном направлении тока J происходит от комбинации механизмов дрей- фа, свойственных поперечному и продольному эффек- Рис. 7. Направление токов ( )cj z , текущих в плоскостях xy , как функция z [60]. Слева: угол ( )zϕ между cj и осью x . Вверху: начало релаксации, = 0,975xJ% . Внизу: = 0,4xJ% . z y y d/2 d/2 –d/2 –d/2 – /2 – /2 /2 /2   Г.П. Микитик 30 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 там встряхивания в бесконечной полосе. Формулы для электрического поля в этом общем случае могут быть получены из уравнений (15), (17) [45]. В итоге, нахо- дим, что электрические поля, обусловленные дрейфом, имеют вид [58]: dr dr 0 0( ) = | ( ) | , ( ) = | ( ) | ,x ac x y ac yE t h t d e E t h t d eμ μ⋅ ⋅& & (39) где постоянные xe , ye находятся из формул 1 2 1 2 | |= arsinh arsinh , 2 2 y y x x x x e e J e e e ⎡ + − ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ % (40) 1/2 1/22 2 2 21 1| |= , 2 2y x y x y J e e e e ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ + + ⎥ − ⎢ + − ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ % (41) и = /x x cJ J J% , = /y y cJ J J% , =c cJ j d⊥ . Наконец, ус- редняя поля (39) по периоду переменного магнитного поля, приходим к формулам 0 2 = ( , ) sgn ( ) ,x x x y xE hd e J J Jμ ωπ % % (42) 0 2 = ( , ) sgn ( ) ,y y x y yE hd e J J Jμ ωπ % % (43) в которых sgn ( ) = 1x для > 0x , и sgn ( ) = 1x − для < 0x . В предельных случаях поперечного и продоль- ного встряхивания вихревой решетки в длинной поло- се, когда = 0xJ или = 0yJ , из этих формул получа- ются выражения, совпадающие с (37) при ph h или с (38). Уравнения (40)–(43) устанавливают связь между электрическим полем E и током J , которая необхо- дима для вычисления релаксации магнитных полей и токов, циркулирующих в критическом состоянии бес- конечно тонкой пластины. Отметим, что даже для рас- сматриваемого здесь случая изотропного пиннинга вихревых линий функции ( , )x x ye J J% % , ( , )y x ye J J% % силь- но анизотропны (см. рис. 8). При этом не только зави- симости E от J различны для разных направлений J , но и направление E отклоняется от направления J к оси y , т.е. в общем случае | / | | / |y x y xE E J J≥ . Ин- тересно, что по мере того, как в процессе релаксации токи затухают, анизотропия ( )E J становится даже более ярко выраженной (рис. 8). Таким образом, описание процесса, связанного с периодическим встряхиванием вихревой среды в пла- стине, мы свели к двумерной проблеме релаксации токов в бесконечно тонком сверхпроводнике с ВАХ, задаваемой формулами (42), (43). Численные методы решения такой двумерной проблемы хорошо разрабо- таны [36,76]. Анализ этой проблемы для прямоуголь- ной пластины показал, что анизотропия электрическо- го поля (42), (43) приводит к более быстрому затуха- нию токов yJ , текущих перпендикулярно к направле- нию ach , чем токов xJ , параллельных переменному магнитному полю; при этом в процессе релаксации токов появляются их дополнительные петли вблизи краев образца, которые обеспечивают сохранение тока [58]. Этот эффект особенно выражен для образцов с >1 4 0,25 1 0,5 0,7 2 Рис. 10. Профили магнитной индукции 0( ) = ( )B x H xμ в пластине, помещенной в поле 0 1= cosaH H H tω+ и несу- щей транспортный ток = / 4cI I , при * 1 = 2 / 3H H (a), * 1 =H H (б), * 1 = 4 / 3H H (в) [61]. Показаны два предель- ных профиля при 0 1=aH H H+ (сплошные линии) и 0 1=aH H H− (штриховые линии). В случаях (a) и (б) цен- тральная часть AB профиля ( )B x «заморожена» В случае (в) в течение одной половины цикла магнитный поток в облас- тях 1 и 2 входит слева, а поток в 3 входит справа. В другой половине цикла поток 1 уходит налево, а потоки 2 и 3 напра- во. Таким образом, в течение цикла переменного поля поток 2, заключенный в параллелограмме ABCD, пересекает пла- стину слева направо. B A D C B /B* = 2/31 B /B* = 11 B1/B* = 4/3 x x x–w w –w w –w w a á â I/Iñ = 1/4 B (x ) 1 2 3A B B A Г.П. Микитик 32 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 * = (1 / ) ,c pH I I H− (45) где = 2c cI wdj ⊥ — критический ток, а =p cH j w⊥ — поле полного проникновения магнитного потока в об- разец при = 0I , то осциллирующие части профилей магнитного поля проникают все глубже в пластину и достигают друг друга. В этом случае процессы в об- разце напоминают работу насоса, и вихревые линии «прокачиваются» с одной стороны пластины на дру- гую (рис. 10). Таким образом, асимметрия профилей магнитного поля приводит к тому, что в течение одно- го цикла поля на одной поверхности пластины входит магнитного потока в образец больше, чем выходит, а на другой ее стороне — наоборот. Усредненное по времени электрическое поле, генерируемое этим дви- жением вихревых линий, равно a = ( / 2 )v ABCDE Sω π , где *0 1= (2 / )( )ABCD cS I dj H Hμ ⊥ − — площадь парал- лелограмма ABCD на рис. 10. Таким образом, имеем * a 1 * *0 a 1 1 = 0, < ; 2 = ( ) , . v v c E H H wI E H H H H I μ ω π − ≥ (46) Поле *H имеет простой физический смысл. Это поле полного проникновения магнитного потока в пластину с током I . Поскольку каждая вихревая линия, которая движется с одной стороны образца на другую, прохо- дит через все точки ширины пластины, усредненное поле avE не зависит от x . Этот результат согласуется с усредненным по времени уравнением Максвелла a / = / = 0vdE dx B t−〈∂ ∂ 〉 при периодически изменяю- щейся индукции B . Отметим также, что формула (46) точно совпадает с выражением (37), если в последнем вместо толщины пластины d использовать 2w . Это совпадение не случайно, так как механизм дрейфа вихревых линий при поперечном встряхивании (разд. 3.1.1) есть по сути «прокачивание» компоненты поля xh через толщину полосы. Помимо усредненного поля avE , может быть рас- считана и осциллирующая во времени часть электри- ческого поля. Оказывается, что эта часть испытывает скачки в моменты времени, когда в пластине осущест- вляются критические состояния типа показанного на рис. 10,б [79]. Однако для рассматриваемого здесь эф- фекта эта часть поля не важна. Формула (46) воспроизводит все характерные черты постоянного электрического поля, обнаруженные в экспериментах [71,72]. Она также предсказывает, что ненулевое электрическое поле может появляться, если только переменное магнитное поле превышает порог *H , но в экспериментах [71,72] никакого заметного порога не обнаружено. Однако в них исследовались образцы в форме тонкой полосы, а не пластины. 3.2.2. Полоса в перпендикулярном поле. Рассмот- рим теперь реалистичный случай тонкой полосы ( )d w , помещенной в перпендикулярные ее плоско- сти постоянное и переменное магнитные поля 0 1( ) = cosaH t H H tω+ и несущей ток I [61]. Физиче- ская картина транспорта вихревых линий поперек по- лосы качественно та же, что и в случае пластины, но при количественном описании эффекта теперь надо учесть тот факт, что связь между магнитным полем zH и листовым током J (плотностью тока проинтег- рированной по толщине полосы) является нелокаль- ной. Проблема критического состояния для сверхпро- водящей полосы либо с транспортным током, либо во внешнем магнитном поле, либо в случае, когда и ток, и поле приложены к образцу, решена в работах [4–6,80]. Используя эти решения, получаем следующую картину рассматриваемого эффекта. Когда большое постоянное магнитное поле 0H и транспортный ток I приложены к образцу, в каждой точке полосы ток J достигает своего критического значения, | | = =c cJ J j d⊥ . При постоянных 0H и I и включении дополнительного переменного магнитного поля профили тока ( , )J x t и локальной магнитной индукции ( , )zB x t имеют, вооб- ще говоря, сложные пространственные и временные зависимости. Однако пока амплитуда переменного магнитного поля 1H меньше некоторого порога *H существует область внутри полосы, в которой магнит- ный поток «заморожен» Следовательно, как и в пла- стине, вихревые линии не проходят с одного края по- лосы на другую, и усредненное по времени электриче- ское поле равно нулю. При бóльших амплитудах * 1H H≥ переменное поле полностью проникает в по- лосу так, что при максимальном и минимальном при- ложенном поле 0 1=aH H H± ток J достигает крити- ческого значения cJ практически во всех точках об- разца и изменяет знак только в одной точке полосы 0=x xm , где 0 = / cx wI I и = 2c cI wdj ⊥ . Два предель- ных профиля магнитного поля zH , отвечающих этим кусочно-постоянным распределениям тока ( )J x , име- ют вид: 00 1 cr 2 2 1/2 | | ( ) = ln , ( ) z x x H x H H H w x ± ± − m (47) где cr = /cH j d π⊥ , и верхний и нижний знаки отвеча- ют максимальному и минимальному ( )aH t соответст- венно (см. рис. 11). Магнитный поток, пересекающий полосу за один цикл переменного поля, дается площа- дью ABCD , изображенной на рис. 11. Вычисляя эту площадь, находим, что постоянное электрическое поле avE по-прежнему описывается формулой (46), но с другой величиной порогового поля *H , чем в пла- стине 2 * cr 2 1 1 1 = ln ln , 2 1 4 H I I H I I I ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞+ −+⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ % % % % % (48) где / cI I I≡% . Подчеркнем, что для тонкой полосы ( d w ) это пороговое поле порядка cr = /cH j d π⊥ и, Критические состояния в тонких плоских сверхпроводниках второго рода Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 33 следовательно, значительно меньше, чем порог в пла- стине, * =p cH H j w⊥≈ . Это отчасти объясняет, поче- му в работах [71,72] никакого заметного порогового поля не было обнаружено (см. также ниже). Согласно (48), поле *H — убывающая функция I% . При < / 2I d w% (т.е. при 2< cI j d⊥ ) эта функция, как обыч- но, должна быть «обрезана», поскольку 0x становится порядка d . В этом случае *H порядка поля полного проникновения магнитного потока в полосу при = 0I , cr= ln (2 / )pH H ew d [35]. Хотя формулы (46) и (48) объясняют зависимости экспериментальных данных [71,72] от частоты ω и амплитуды 1H переменного магнитного поля, а также от приложенного тока I и от величины критического тока cI , однако измеренное электрическое поле было примерно на два порядка больше, чем оценка a 1vE w Bω∼ , которая следует из формулы (46) при cI I∼ . Это расхождение можно объяснить следую- щим образом. В экспериментах [71,72] использовались сверхпроводящие пленки а-Mo 3Si и Nd1,85 Ce 0,15 CuOx толщиной 100 нм и размерами 1 1× cм, в которых про- травливались щели шириной около 20 мкм так, чтобы получить полосу размерами 20 200× мкм вместе с двумя токовыми контактами и двумя контактами для измерения напряжения (рис. 12). Выше при объясне- нии экспериментальных результатов предполагалось, что электрическое поле a 1vE w Bω∼ достаточно мало по сравнению с ff cjρ ⊥ (см. условие (8)). Однако для широкой пленки, окружающей полосу, условие (8) может быть не выполнено, и тогда переменное маг- нитное поле не проникает в такую пленку. Это поле экранируется токами, которые текут главным образом вблизи ее внешних краев и краев щелей. В свою оче- редь, эти токи приводят к появлению переменного по- ля внутри щелей и полосы, которое значительно боль- ше, чем приложенное переменное магнитное поле. Чтобы оценить усиление переменного поля, рас- смотрим две параллельные полосы, помещенные в плоскости xy при a x b− ≤ ≤ − и b x a≤ ≤ , к которым приложено перпендикулярное магнитное поле 1 .H Будем считать, что магнитное поле не проникает в эти полосы. Тогда распределения экранирующих токов в полосах и магнитного поля вне их может быть получе- но с помощью методов, изложенных в [81]. Если ши- рина щели 2b много меньше, чем полная ширина двойной полосы 2a , то перпендикулярное магнитное поле 1H концентрируется в щели (см. рис. 12), и для индукции в щели имеем [61] eff 2 2 1/21( ) (1 / ) , | |< ,B x B x b x b −≈ − (49) eff1 1 1 / = ( = 0) . ln (4 / ) a b B B x B B a b ≈  (50) Рис. 11. Предельные профили магнитной индукции 0( ) = ( )B x H xμ в полосе, помещенной в перпендикулярные ее плоскости постоянное и переменное магнитные поля 0 1= cosaH H H tω+ и несущей транспортный ток = 0,3 cI I , при амплитудах переменного поля *1 =H H (a), * 1 = 4 / 3H H (б) [61]. Сплошная линия отвечает 0 1H H+ , а штриховая — 0 1H H− . В случае (a) область «замороженно- го» потока только что исчезла и вихревые линии по- прежнему не пересекают полосу, так как площадь ABCD равна нулю. В случае (б) в течение каждого цикла поля маг- нитный поток, заключенный в области ABCD, пересекает полосу слева направо. Вставка показывает профили тока ( )J x , которые одинаковы в случаях (a) и (б). A A D D B B C C –w w–x0 x0 –w w–x0 x0 x x Â1/B* = 1 B1/B* = 4/3 B0B (x ) Jñ –Jñ J( x) I/Iñ ,= 0 3 a á Рис. 12. Силовые линии магнитного поля вблизи двойной идеально экранированной полосы, показанной вверху справа ( | |b x a≤ ≤ , = 1a , = 0,1b , две жирные линии на основной части рисунка), в перпендикулярном магнитном поле 1H [61]. Вверху слева схематически показана также форма плен- ки, использованной в экспериментах [71,72] (U и I обозна- чают контакты напряжения и тока). íà ïð àâ ëå íè å ïîïî ëÿ ,z ïî ëî ñà 1 0 –1 –1 –0,1 0,1 õ õ 1 a b –b –a Г.П. Микитик 34 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 Таким образом, согласно формуле (50), фактор усиле- ния переменного магнитного поля в экспериментах примерно равен величине eff 1/B B , которая порядка отношения полной ширины пленки к ширине щелей, окружающих полосу. Эффект фокусировки магнитного потока также объясняет отсутствие заметного порога по переменному магнитному полю в экспериментах [71,72]. Чтобы экспериментально проверить предло- женное объяснение усиления поля, достаточно изме- нить ширину щелей в пленке, не изменяя полосу и подходящие к ней контакты. Это должно привести к изменению измеряемого электрического поля. В заключение подчеркнем, что рассмотренный эф- фект генерации постоянного электрического поля пе- ременным магнитным полем отличается от так назы- ваемого ratchet-эффекта (см., например, [82]), в кото- ром направленное движение вихрей возникает из-за асимметрии потенциала сил пиннинга. В рассматри- ваемом случае пиннинг изотропен, и асимметрия про- филей магнитного поля создается транспортным то- ком. 4. Критические состояния в тонких плоских сверхпроводниках второго рода с анизотропным пиннингом вихревых линий Для анизотропных сверхпроводящих материалов вполне естественно ожидать и анизотропию пиннинга вихревых линий. Известно только одно исключение из этого правила. В случае слабого коллективного пин- нинга точечными дефектами в так называемом режиме пиннинга отдельных вихрей (single vortex pinning ре- жим) критическая плотность тока cj ⊥ , входящая в (27), не зависит от величины и направления магнитной индукции B и, следовательно, при заданной темпера- туре является постоянной величиной [83]. Еще одним специфическим режимом пиннинга является режим пиннинга малых вихревых связок (small bundle pinning режим), когда размер связки вихрей не превышает лондоновскую глубину проникновения магнитного поля. В этом случае cj ⊥ зависит от zB [83], т.е. только от комбинации | | cosB θ , где θ — угол между направ- лением B и осью анизотропии материала (ось c для высокотемпературных сверхпроводников), которая обычно перпендикулярна плоскости сверхпроводящих монокристаллов. Однако, если центры пиннинга не могут рассматриваться как точечные (т.е. если их раз- меры сравнимы или больше корреляционной длины )ξ , или пиннинг не является слабым, следует ожидать заметную анизотропию пиннинга вихревых линий, и cj ⊥ зависит от θ и | |B по отдельности. Кроме того, ясно, что любые протяженные дефекты, например двойниковые границы или дефекты, возникающие по- сле облучения образца тяжелыми ионами, должны приводить к анизотропии пиннинга даже в изотропных сверхпроводящих материалах. До недавнего времени была известна только одна работа [37], в которой исследовалось критическое со- стояние в образце в форме диска для некоторой опре- деленной модели аксиальной анизотропии пиннинга вихревых линий. Однако в разд. 2.2 было объяснено, как учесть произвольную аксиальную анизотропию пиннинга для тонких плоских сверхпроводников лю- бой формы, помещенных в перпендикулярное их плос- кости внешнее магнитное поле aH . Оказалось, что и анизотропия пиннинга, и зависимость cj ⊥ от 0= | | /H μB приводят к зависимости критического листового тока cJ от zH , локального значения ком- поненты магнитного поля, перпендикулярной плоско- сти сверхпроводника. Выражение (27) позволяет най- ти ( )c zJ H по ( , )cj H θ⊥ . Найденной зависимости ( )c zJ H достаточно для решения двумерной проблемы критического состояния в бесконечно тонком сверх- проводнике. В итоге, все эти результаты дают возмож- ность описывать трехмерные критические состояния с анизотропным пиннингом вихревых линий (см. разд. 2.2). Для понимания влияния анизотропии пиннинга на критическое состояние в этом разделе детально про- анализируем тот простой случай, в котором зависимо- стью cj ⊥ от | |H можно пренебречь, и поэтому в пер- вом приближении = ( )c cj j θ⊥ ⊥ . Такое приближение вполне оправдано, если характерный масштаб 0H по- левой зависимости cj ⊥ значительно превышает харак- терное поле в критическом состоянии тонкого сверх- проводника, 0 cH J . Иными словами, использо- вание этого приближения вполне допустимо для не слишком толстых образцов с 0 / cd H j ⊥ . Тогда ( ,| |) ( ,0)c cj H jθ θ⊥ ⊥≈ . При этом, если плотность кри- тического тока ( ,| |)cj Hθ⊥ зависит от θ и | |H по отдельности, а не от их комбинации | | cosH θ , невоз- можно пренебречь угловой зависимостью cj ⊥ даже в таких тонких образцах, поскольку характерный угол θ в образце порядка /c zj d H⊥ , и он существенно изме- няется поперек толщины сверхпроводника при z cH j d⊥∼ . В подобных тонких сверхпроводниках анизотропия пиннинга может быть существенной и в сильных маг- нитных полях 0aH H∼ . Поскольку в таких полях ха- рактерный угол θ в образце мал, анизотропия пиннин- га будет проявлять себя, если угловая зависимость cj ⊥ имеет достаточно острый пик при = 0θ . Ниже будет показано, что такая анизотропия приводит к так назы- ваемому fishtail-эффекту, который часто наблюдается в высокотемпературных сверхпроводниках [84–93]. В этом разделе будет также проанализировано критичес- кое состояние в тонком плоском сверхпроводнике в условиях фазового перехода в вихревой решетке [63,64,94]. Именно с существованием такого перехода наиболее часто связывают упомянутый fishtail-эффект в высокотемпературных сверхпроводниках и пик-эф- фект в низкотемпературных сверхпроводящих мате- риалах [95–112]. Наконец, в этой главе будет указан Критические состояния в тонких плоских сверхпроводниках второго рода Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 35 путь восстановления угловой зависимости ( )cj θ⊥ по профилям магнитного поля, измеренным на поверхно- сти тонкого плоского сверхпроводника. 4.1. Критическое состояние в сверхпроводящей полосе с анизотропным пиннингом Для понимания влияния анизотропного пиннинга на критическое состояние рассмотрим тонкую сверхпро- водящую полосу в рамках простейшей модели для ( )cj θ⊥ [113], в которой угловая зависимость критиче- ской плотности тока предполагается кусочно-постоян- ной (рис. 13): 0 0 1 0 ( ) = , 0 , ( ) = , / 2 , c c c c j j j j θ θ θ θ θ θ π ⊥ ⊥ ≤ ≤ ≤ ≤ (51) где постоянные 0cj , 1cj , и 0θ — параметры модели. Используя соотношение (27), нетрудно проверить, что угловой зависимости (51) соответствует следующая зависимость ( )c zJ H : 0 1 0 0 ( ) = , 0 , ( ) = , , c z c z z z c z c z z J H J H H H J H J H H γ− ≤ ≤ ≥ (52) где 01 0= ( ) /c c zJ J Hγ − ; 1 1=c cJ j d ; 0 0=c cJ j d и 0 0 0= / 2 tgz cH J θ (рис. 13). Таким образом, случай > 0γ отвечает пику в ( )cj θ⊥ при = / 2θ π , относи- тельная высота которого определяет отношение 1 0/c cJ J , в то время как параметр 0 zH связан с его ши- риной, 00 0tg [( / 2) ] = 2 /z cH Jπ θ− . Следовательно, чем выше или ýже такой пик в ( )cj θ⊥ , тем больше пара- метр 01 0= ( ) /c c zJ J Hγ − . И наоборот, пик при = 0θ соответствует < 0γ ; с уменьшением ширины этого пика параметр 0zH увеличивается, а относительная высота пика задает 0 1/c cJ J . Поскольку в слоистых высокотемпературных сверхпроводниках внутренний пиннинг порождает пик в ( )cj θ⊥ при = / 2θ π , а тре- ки тяжелых ионов, нормальные плоскости образца, приводят к пику при = 0θ , то можно считать, что за- висимость (52) при > 0γ приближенно моделирует внутренний пиннинг, а в случае < 0γ — пиннинг про- тяженными дефектами, созданными при облучении сверхпроводника тяжелыми ионами. Пусть бесконечно длинная сверхпроводящая полоса шириной 2w и толщиной d заполняет пространство w x w− ≤ ≤ , < 0γ функция | ( ) |J x имеет острый пик при =x b , а при < 0γ ток ( )J x есть монотонная функция, Рис. 13. Нижний график: модельная угловая зависимость ( )cj θ⊥ , формула (51), для случаев внутреннего пиннинга (сплошная линия) и пиннинга протяженными дефектами, параллельными оси z (штриховая линия) [113]. Верхний график показывает соответствующие зависимости ( )c zJ H , формула (52). Поле zH и ток cJ измеряются в единицах 0cJ , а угол θ в градусах. Для примера показаны зависимо- сти для случаев: 1 = 2cJ , 0 = 60θ o и 1 = 0,5cJ , 0 = 40θ o . 0 0 5, 0 5, 2,0 0 3, 1 0 0 6, 9040 60 1,0 2,0 1,0 Jñ1 Jñ1 Jñ1 Jñ1 Jñ0 Jñ0 Hz , ãðàä j ñ d J c Hz 0 Hz 0 Г.П. Микитик 36 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 но ее производная по x обращается в бесконечность в этой точке (рис. 14). Поле zH вблизи точки =x b об- ращается в нуль по закону 2 2= ( ) , | | ,zH C x b x b β− ≥ (56) где С — некоторая постоянная, а 1 1 2 = arctg ( / 2) .πβ γ− Из этого результата заключаем, что чем больше γ , тем резче изменяется профиль ( )zH x в окрестности этой точки. В предельном случае высокого или узкого пика в ( )cj θ⊥ при = / 2θ π , то есть при γ →+∞ , постоян- ная C в формуле (56) переходит в 0zH , а 0β → . Это означает, что мы имеем резкую «ступеньку» высотой 0 zH при =x b (см. рис. 14). Кроме того, в этом пре- дельном случае решение практически перестает зави- сеть от высоты пика 1cJ . В частности, положение фронта магнитного потока /b w есть функция только /a csH H и ширины пика в ( )cj θ , которая связана с параметром 0 /z csH H . Здесь для удобства введено обо- значение: 0 /cs cH J π≡ . Следовательно, измерение ( )ab H в этом случае в принципе может дать информа- цию не только о 0= /cs cH J π , но также и о ширине этого пика. Например, когда пик узкий, то есть когда 0 0z cH J , имеем следующее выражение для b : 2 0 2 2 2 1 0,39( / ) ( )tanh . ( )cosh z cs a cs a cs H H H Hb w H H +⎛ ⎞ ≈⎜ ⎟⎝ ⎠ (57) Отметим, что для всего интервала изменения aH правая часть (57) не может быть хорошо аппроксими- рована зависимостью (6) для изотропного случая с не- которым новым эффективным cJ , если параметр 0 zH отличен от нуля. Еще одно проявление анизотропии пиннинга при > 0γ состоит в том, что в петле намаг- ниченности появляется пик при = 0aH [52]. Рассмотрим теперь случай малых отрицательных значений γ , когда 0 0= /z cs cH H J π , но отношение 0 1/c cJ J не близко к единице. Этот случай может дать представление о пиннинге протяженными дефектами, порождающими пик в ( )cj θ при = 0θ . Действитель- но, если предположить, что характерная ширина этого пика 0θ мала ( 0 / 2θ π ), тогда из определений 0zH и γ следует, что 0 0 0/ 2z c csH J Hθ≈  и 0| |< 2γ θ π . Так как решение с = 0γ и 1=c cJ J описывает крити- ческое состояние в полосе до ее облучения тяжелыми ионами, создающими дефекты (предполагаем, что про- тяженные дефекты не изменяют ( )cj θ при 0>θ θ ), разница между решениями, соответствующими 0γ ≠ и = 0γ , дает информацию о пиннинге вихревых линий этими дефектами. В рассматриваемом случае эта раз- ница мала и может быть проанализирована аналитиче- ски. В результате заключаем, что после облучения уменьшается глубина проникновения магнитного поля в образецw b− , и находим следующее соотношение между положениями фронта магнитного потока b и 1b , полученными при одном и том же aH в полосе с дефектами и без них*: 1 | | arcosh arcosh = ( ) , w w g h b b γ π− (58) где 1/a ch H Jπ≡ , 1/ = cosh ( )w b h и функция ( )g h имеет вид: 0 ( ) = ln (2cosh ) . h g h t dt∫ (59) Коэффициент 0 2 (0) ( / 2)| | (0) c c c j j j θ πγ π π −≈ в (58) определяется характеристиками пиннинга про- тяженными дефектами, т.е. шириной и высотой пика в ( )cj θ (а точнее, его «площадью»). Поскольку g есть нелинейная функция h , точная зависимость ( )ab H опять не может быть описана формулой (6) с некото- рым эффективным cJ . В полевой зависимости намаг- ниченности M наличие пика в ( )cj θ при = 0θ может привести к немонотонному поведению M при доста- точно больших магнитных полях (см. следующий раз- дел). Рис. 14. Некоторые профили ( )J x и ( )zH x в сверхпроводя- щей полосе в поле = 0,5aH для различных зависимостей ( )c zJ H , формула (52), с параметрами: 0 = 0,6zH и 1 =cJ 0,25, 0,5, 0,75, 1, 1,5, 2,2, 4, и ∞ [113]. Величины J и zH измеряются в единицах 0cJ . Пунктирные линии указывают поле 0=z zH H и точку =x a , в которой 0( ) = cJ a J и 0( ) =z zH a H . В пределе 1cJ →∞ поле ( )zH x при =x b резко возрастает до значения 0zH и остается постоянным при b x a≤ ≤ . 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 x / w H , JJ z 0,75 0,5 0,25 1,5 2,2 4 Jc1 = Jc1 = Jc0 = 1 Jc1 = 1 0,25 H z 0 = 0,6 Ha = 0,5 H z 0 J Hz * Следует иметь в виду, что формула (58) справедлива, если только до облучения и после него магнитное поле увеличивает- ся от нуля до заданного значения aH . Если облучение происходит при фиксированном магнитном поле, то 1 =b b ; см. разд. 5. Критические состояния в тонких плоских сверхпроводниках второго рода Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 37 4.2. Fishtail-эффект в тонких плоских сверхпроводниках В кристаллах высокотемпературных сверхпровод- ников часто наблюдается немонотонная зависимость ширины петли магнитного гистерезиса от величины внешнего магнитного поля, то есть, так называемый fishtail-эффект [84–93]. Поскольку обычно подразуме- вается, что ширина петли гистерезиса пропорциональ- на плотности критического тока cj ⊥ [2,114], на этом основании делается вывод и о немонотонном поведе- нии этой плотности. В настоящем разделе будет пока- зано, что даже при монотонном уменьшении cj ⊥ с ростом абсолютной величины магнитного поля H fishtail-эффект может появиться, если имеется искрив- ление вихревых линий в образце, а их пиннинг в сверхпроводнике является анизотропным [115–117]. Это связано с тем, что в анизотропном случае критиче- ская плотность тока cj ⊥ не однородна по образцу, и в достаточно широкой области магнитных полей нет простой связи магнитного момента образца с cj ⊥ . Иными словами, общепринятый способ определения ( )cj H⊥ с помощью петли гистерезиса может привести к неправильному результату при заметной анизотро- пии пиннинга вихревых линий. Проанализируем магнитный момент M тонкого плоского сверхпроводника, помещенного в перпенди- кулярное магнитное поле aH . Для определенности рассмотрим сверхпроводник в форме тонкой прямо- угольной пластины шириной 2w , длиной 2L и тол- щиной d , d w , L . Пусть внешнее поле aH замет- но превосходит поле полного проникновения магнит- ного потока в образец pH , т.е. a pH H , а плотность критического тока имеет вид: 0= ( ) ( )c cj j f Hθ⊥ ⊥ , где ( )f H — монотонно убывающая функция H , норми- рованная так, что (0) = 1f . Кроме того, предполагает- ся, что собственные поля токов значительно меньше характерного масштаба, на котором изменяется функ- ция ( )f H , т.е. 0 (0) | ( ) | 1cdj f H⊥ ′  . Пусть функция 0 ( )cj θ⊥ , описывающая угловую зависимость критиче- ской плотности тока, имеет пик при = 0θ и в окрест- ности этой точки справедливо разложение: 0 0( ) (0)(1 ),c cj jθ αθ⊥ ⊥≈ − (60) где α — положительная постоянная. Учитывая, что 0 (0)a p cH H j d⊥ ∼ и, следовательно, угол θ мал во всех точках образца, из (27) и (60) находим [115] 0 0 (0) ( )( ) (0) ( ) 1 . 4 c z c z c z z j f H d J H j f H d H α ⊥⊥ ⎛ ⎞≈ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ (61) Здесь мы пренебрегли незначительной разницей между H и zH . Отметим, что ( )zf H есть убывающая функ- ция zH , а выражение в скобках монотонно возрастает с ростом zH . Этот растущий множитель связан с тем, что с увеличением zH вихревые линии становятся все менее искривленными, и из-за наличия максимума вблизи = 0θ угловая часть тока 0 ( )cj θ⊥ возрастает. В итоге, произведение растущего и убывающего множи- телей может привести к немонотонной зависимости ( )c zJ H . Поскольку вариации zH по образцу относи- тельно малы по сравнению с aH (они порядка pH ), в главном приближении можно положить =z aH H в (61). Поскольку при постоянном cJ магнитный момент прямоугольной пластины с >L w имеет вид [114]: 2 2 | |= (3 ) ( ) , 3 c a M w L w J H− (62) формула (62) показывает, что немонотонная зависи- мость ( )c aJ H приводит к fishtail-эффекту в петле магнитного гистерезиса. Отметим, при сделанных предположениях поле mH , при котором ( )c aJ H дос- тигает максимума, может быть достаточно большим и превышать pH . Например, если 0 0 ( ) = H f H H H+ (63) (по предположению, постоянная 00 (0)cH dj ⊥ ), то для mH получаем 0 1/2 00( (0) / 4) (0) .m c c pH j dH j d Hα ⊥ ⊥≈  ∼ Подчеркнем, что поле mH зависит от толщины образ- ца d , если fishtail-эффект обусловлен угловой зависи- мостью критической плотности тока. Рис. 15. Зависимости ( )aM H в случае сверхпроводящего диска, рассчитанные с использованием формул (27), (64), (65) для = 2 / 3jβ и нескольких наборов остальных пара- метров [117]: 1 = 0,01θ , 2 = 0,1θ , 0 = 30H (1); 1 = 0,02θ , 2 = 0,1θ , 0 = 30H (2); 1 = 0,005θ , 2 = 0,1θ , 0 = 30H (3); 1 = 0,01θ , 2 = 0,1θ , 0 = 50H (4). Штриховая линия отвечает изотропному случаю ( 2 = 0θ ) с 0 = 30H . Здесь 0 =M 3 0 (0) / 3cR djπ ⊥= , а 0H выражена в единицах 0 =dH0 (0) / 2cdj ⊥= . 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 10 20 30 40 50 60 3 4 2 1 H/Hd 0 M /M 0 Г.П. Микитик 38 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 На рис. 15 показаны зависимости ( )aM H для тон- кого сверхпроводящего диска радиусом R и толщиной d , рассчитанные численно для следующей угловой зависимости 0 ( )cj θ⊥ [117]: 0 0 1/22 1 22 2 1 2 2 ( ) = (0)[ ( )] , ( ) = , 0 , ( ) = ( ) , / 2. j c cj j βθ ψ θ θψ θ θ θθ θ ψ θ ψ θ θ θ π ⎛ ⎞ ≤ ≤⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ ≤ ≤ (64) Здесь jβ , 1θ , 2θ — некоторые постоянные параметры модели. Такая форма угловой зависимости 0 ( )cj θ⊥ ти- пична для случаев, когда имеются протяженные де- фекты [83]. В этой ситуации углы 1θ и 2θ могут быть связаны с так называемыми lock-in переходом и углом захвата (trapping angle) соответственно. При этих рас- четах функция ( )f H была выбрана в виде: 0( ) = exp ( / ).f H H H− (65) Как показано в [117], при угловой зависимости, опи- сываемой формулами (64), приближенно имеет место скейлинг кривых ( )aM H , т.е. зависимости ( )aM H для различных значений параметров укладываются практически на одну кривую, если M и aH норми- рованы на высоту mM и положение mH максимума соответствующей кривой. Интересно, что подобный скейлинг действительно нередко наблюдается для мо- нокристаллов YBaCuO [91,92]. 4.3. Критическое состояние в сверхпроводящей полосе с переходом порядок–беспорядок в вихревой решетке При переходе порядок–беспорядок в вихревой ре- шетке [63,64,94], который индуцируется точечными центрами пиннинга при определенной величине ло- кальной магнитной индукции disB , происходит транс- формация вихревой среды из квазиупорядоченного брэгговского стекла [118] в неупорядоченную аморф- ную вихревую фазу посредством образования дисло- каций в вихревой решетке (см. [119] и ссылки там). При таком переходе пиннинг вихрей усиливается, это приводит к резкому возрастанию критической плотно- сти тока при индукции disB . В настоящее время пик-эф- фект в низкотемпературных сверхпроводниках [95–102] и fishtail-эффект в высокотемпературных сверхпровод- никах [84–93] чаще всего объясняют именно этой ге- нерацией дислокаций [95–101,103–106,108–112]. В экспериментах, использующих наборы малых холлов- ских датчиков, помещенных на поверхности плоского сверхпроводника [94], или в магнитооптических изме- рениях профилей магнитного поля на этой поверхно- сти [120,121] переход в вихревой решетке идентифи- цируют с изломом градиента локального магнитного поля. Однако, как было замечено в работе [122], для тонкого плоского образца предположение о резком скачке тока на фронте перехода должно было бы при- вести к появлению пика (или провала) в профиле маг- нитного поля, подобного тому, что имеет место на кра- ях сверхпроводника, вместо наблюдаемого излома гра- диента. Численный анализ этой проблемы показал [122], что вблизи фронта, на котором происходит из- менение градиента, существует область, в которой плотность тока, проинтегрированная по толщине об- разца, непрерывно изменяется от одного своего крити- ческого значения до другого, и фронт отвечает только одной из двух границ этой области. Внутри области обязательно существует смесь двух вихревых фаз. По- лученное в работе [123] аналитическое решение урав- нений критического состояния для тонкой полосы, в которой происходит переход порядок–беспорядок, подтверждает эту точку зрения и дает полное описание этой проблемы. Приведем основные результаты работы [123]. Рас- смотрим такую же тонкую и бесконечно длинную сверхпроводящую полосу, помещенную в перпендику- лярное ее плоскости внешнее магнитное поле aH , как и в разд. 4.1, но теперь пиннинг вихревых линий пред- полагаем изотропным, так что =c cJ dj ⊥ . Полагая, что в каждой точке образца устанавливается локальное равновесное состояние, переход порядок–беспорядок в вихревой решетке будем описывать следующим обра- зом: 1 dis 2 dis ( ) = , < , ( ) = , > , c z c z c z c z J B J B B J B J B B (66) где 1cJ , 2cJ — некоторые постоянные и 2 1>c cJ J . Подчеркнем, что в отличие от (52) теперь зависимость ( )c zJ B связана не с анизотропией пиннинга, а со скач- ком критической плотности тока cj ⊥ при dis=B B . Поскольку нас интересует критическое состояние только при магнитных полях вблизи перехода поря- док–беспорядок, в дальнейшем не рассматриваем влияние этого перехода на процесс начального про- никновения внешнего магнитного поля в образец и на перемагничивание полосы при расчете петли магнит- ного гистерезиса. Уравнения критического состояния для случая, на- пример, возрастающего aH гласят: 2 21 1| ( ) | = , 0 ,cJ x J x b≤ ≤ (67) 2 2 2dis 1 2( ) = , ,zH x H b x b≤ ≤ (68) 2 2 22 2| ( ) | = , .cJ x J b x w≤ ≤ (69) Здесь 1| | =x b определяет границу области, в которой 1| ( ) | = cJ x J и dis( ) H x H (см. рис. 16). На этих границах поле H достигает disH , и при 1 2| |b x b≤ ≤ имеем dis( ) =H x H , в то время как ток J лежит в интервале 1 2| |c cJ J J≤ ≤ . Отметим, что эти уравнения критического состояния описывают, как Критические состояния в тонких плоских сверхпроводниках второго рода Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 39 специальный случай, и ситуацию, когда 1 2=b b , т.е. когда имеет место непосредственный контакт упомя- нутых выше областей. Однако оказывается, что грани- цы 1b и 2b не могут быть выбраны произвольно, и непосредственный контакт областей запрещен. В про- тивном случае условие локального равновесия среды (66) не может быть согласовано с условиями критичес- кого состояния (67)–(69) [123]. Используя теорию линейных сингулярных инте- гральных уравнений с ядром типа Коши [81], в работе [123] были получены явные аналитические формулы для токов ( )J x и магнитных полей ( )zH x в случаях увеличивающегося и уменьшающегося внешнего маг- нитного поля aH . Пример профилей ( )J x и ( )zH x показан на рис. 17. Подчеркнем, что, в согласии с чис- ленными результатами [122], резкое изменение гради- ента функций ( )zH x и ( )J x происходит только при 2| | =x b , т.е. на границе аморфной вихревой фазы, в то время как на границе упорядоченной фазы 1| | =x b профили остаются гладкими. В интервале 1 2< b b . x y Jc1 –b1 b2b1–b2 0 w–w J(x) z Jc2 Ha Рис. 17. Профили магнитного поля ( )zH x и тока | ( ) |J x в полосе при 2 1/ = 3c cJ J , dis 1/ = 4cH J и 1/ = 4,5a cH J для случаев увеличивающегося (а) и уменьшающегося (б) aH [123]. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x / w a J(x) J(x) Hz(x) Hz(x) b1 b1 b2 b2 Hà Hà Hdis Hdis 8 7 6 5 4 3 2 1 0 J /J = 3c2 c1 H /J = 4dis c1 H / J = 4,5a c1 óìåíüøàþùååñÿ Ha á 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 J /J = 3 H /J = 4 H / J = 4,5 H c2 c1 dis c1 a c1 aóâåëè÷èâàþùååñÿ J/ J , HH /J c1 z c 1 J/ J , HH /J c1 z c 1 Г.П. Микитик 40 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 2 2 1 2 2 11 2 dis 2 2 2 22 1 1 2 = ln ln .c ca b b b bJ J H H b b w b w bπ π + −+ +− − + − (72) Для уменьшающегося aH магнитный момент ( )z aM H отличается только знаком. На рис. 18 показан пример петли намагниченности для сверхпроводящей полосы. Интересно, что максимум | ( ) | /z a ad M H dH находится всегда немного выше точки dis=aH H , в то время как положение максимума второй производной 2 2| ( ) | /z a ad M H dH практически совпадает с этой точ- кой. Иными словами, точка dis=aH H есть, фактиче- ски, точка максимальной кривизны для кривой | ( ) |z aM H . Этот результат может быть полезным при анализе fishtail-эффекта или пик-эффекта в тонких плоских сверхпроводниках. Для сравнения на этом же рисунке показана петля намагниченности для беско- нечной пластины толщиной 2w , помещенной во внешнее магнитное поле aH , параллельное ее поверх- ности. В противоположность случаю полосы в перпен- дикулярном поле петля намагниченности для пластины в параллельном поле не симметрична относительно оси = 0zM . Эта асимметрия главным образом связана с тем, что с увеличением aH резкая граница между упорядоченной и аморфной вихревыми фазами появ- ляется в пластине только при disaH H≥ , в то время как при уменьшении поля aH граница существует при dis 0q , а p может иметь любой знак]. Этой функции ( )c zJ H соответствует критическая плотность тока (76), которая зависит только от угла θ между локальным направлением H и осью z , = ( )c cj j θ⊥ ⊥ . Угловая зависимость этой критической плотности тока и рассчитанные по формуле (77) функ- ции ( , )c z axJ H H показаны на рис. 20. Используя функции ( , )c z axJ H H , проанализируем профили ( )zH x для различных типов анизотропии пиннинга и для различных сценариев включения внешнего маг- нитного поля aH [147]. В случае > 0p начнем анализ с третьего сценария, когда компонента axH включается до azH . Соответ- ствующие профили ( )zH x и тока ( )J x показаны на рис. 21. Отметим, что для третьего сценария | ( ) |= cJ x J в любой точке x , в которой ( ) 0zH x ≠ , и глубина проникновения zH в полосу зависит от axH . Иная ситуация имеет место, когда axH и azH вклю- чаются в противоположном порядке (второй сцена- рий). После включения azH профили магнитного поля показаны пунктирными линиями на рис. 21. После- дующее увеличение axH не изменяет ни ( )J x , ни ( )zH x . Действительно, как видно на рис. 20, ( )c zJ H увеличивается с ростом axH . Следовательно, если бы ток ( )J x был равен своему критическому значению [ ( )]c zJ H x , глубина проникновения компоненты zH должна была бы уменьшиться по сравнению со случа- ем, показанным пунктирными линиями на рис. 21, и вихревые линии возле точек обращения zH в нуль Рис. 20. Зависимости ( )cj θ⊥ (штриховые линии), формулы (76), для = 1p , = 4q ((а) максимум cj ⊥ при = / 2θ π ) и для = 0,5p − , = 0,5q ((б) максимум cj ⊥ при = 0θ ) [147]. Сплошные линии показывают соответствующие ( , )c z axJ H H при = 0axH , 0,3 , 0,5, 1 , 2 , 5 . cj ⊥ измеряет- ся в единицах (0)cj , а cJ и zH в (0)cj d . 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 0 0,5 1 2 p = 1 p = –0,5 q = 4 q = 0,5 Í =àõ 5 Í = 0àõ j ( )c H ,z H ,z J (H ), j ( ) ñ z c J (H ), j ( ) ñ z c J (H )c z à á 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0 1 2 3 4 5 6 0,3 0,5 1 2 5 Рис. 21. Профили ( )zH x (а) и тока ( )J x (б) в полосе, для которой ( )cj θ⊥ описывается (76) с = 1p , = 4q [147]. Сна- чала включается axH , а затем azH (третий сценарий). = 0,2azH , 0,6 , 1,2 . Магнитные поля и J в единицах (0)cj d . Пунктирные, штриховые, штрих-пунктирные и сплошные линии показывают = 0axH , 0,5, 1 и 2 соответст- венно. Для сравнения сплошные линии с точками указывают профили в изотропном случае ( = 0p ). Пунктирные линии также отвечают второму сценарию включения поля. 0 0 0 2, 0 2, 0 4, 0 4, 0 6, 0 6, 0 8, 0 8, 1,0 1,0 0 2, 0 2, 0 4, 0 4, 0 6, 0 6, 0 8, 0 8, 1,0 1,0 1 2, 1 2, 1 4, 1 4, 1 6, 1 6, 1 8, 1 8, p = 1 q = 4 x / w x / w 10 5,0 èçîòðîïíûé ñëó÷àé Í =àõ 5 Í =àz 1,2 Í =àz 1,2 Í =àz 0,2 Í =àz 0,2 Í =àz 0,8 Í =àz 0,8 –J (x ) H (x ) z à á Г.П. Микитик 44 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 должны были бы двигаться против силы Лоренца, на- правленной к центру полосы, что невозможно. Таким образом, для второго сценария ток ( )J x меньше сво- его критического значения для всех x . Это означает, что, хотя поперек толщины полосы в ее областях с не- нулевым zH реализуется критическое состояние, в котором плотность тока ( , )yj x z равна критическому значению, существует граница = ( )cz z x , на которой эта плотность тока изменяет знак, и поэтому величина | |J меньше, чем cJ [147]. Наконец, для первого сце- нария включения aH , при котором azH и axH увели- чиваются одновременно, профили ( )zH x для тех же самых значений azH и axH совпадают с профилями для третьего сценария, показанными на рис. 21. Рассмотрим теперь случай < 0p в формулах (76), рис. 20. Этот случай описывает пиннинг протяжен- ными дефектами, введенными в полосу перпендику- лярно ее плоскости, разд. 4.4. На рис. 22 показаны со- ответствующие профили ( )zH x и ( )J x . Отметим, что эти профили совпадают для всех трех сценариев вклю- чения aH . Однако вид профилей и глубина проникно- вения zH в полосу зависят от axH . Когда axH увели- чивается, профили стремятся к тем, что имеют место в сверхпроводнике с изотропным пиннингом, в котором ( ) = ( / 2)c cj jθ π⊥ ⊥ (т.е. в образце без протяженных дефектов). Изменение профилей происходит в доволь- но узком интервале axH . Этот результат можно понять из следующих простых соображений. Когда axH уве- личивается, средний угол наклона вихревых линий в образце /ax zH H также растет. Когда этот наклон превышает характерную ширину пика в ( )cj θ⊥ на рис. 20, пиннинг в основном определяется ( / 2)cj π⊥ , а область пика становится неэффективной. Отметим также, что профили, представленные на рис. 22, указы- вают на «более медленное» проникновение внешнего поля в образец (т.е. на меньшие глубины проникнове- ния zH ) после введения в него протяженных дефек- тов. Это находится в согласии с экспериментальными результатами работы [139]. Результаты этого раздела показывают, что измере- ние распределения магнитного поля zH по поверхно- сти сверхпроводящей пластины во внешнем наклон- ном магнитном поле расширяет возможности метода определения критической плотности тока ( )cj ⊥ H по таким экспериментальным данным. Подчеркнем, что, поскольку профили поля zH в наклонном магнитном поле определяются функцией двух переменных ( , )c z axJ H H , эти профили, в принципе, дают возмож- ность найти критическую плотность тока ( ,| |)cj Hθ⊥ , которая в общем случае также зависит от двух пере- менных. В частности, для экспериментальных данных работы [139] функции ( , )c z axJ H H представлены на рис. 19. Это открывает возможность проверить зави- симость ( )cj θ⊥ , извлеченную из этих данных и пред- ставленную на этом же рисунке*. Следует также отме- тить, что при экспериментальном изучении профилей zH во внешнем наклонном магнитном поле с помо- щью магнитооптики на результаты измерений оказы- вает влияние компонента поля, параллельная плоско- сти пластины, и это обстоятельство необходимо учи- тывать при обработке экспериментальных данных [136]. В заключение укажем еще на один эффект. Если пиннинг вихревых линий в сверхпроводнике является анизотропным, в наклонном поле появляется асиммет- рия распределения токов по толщине образца, а это, в свою очередь, приводит к небольшой асимметрии профилей ( )zH x на верхней поверхности полосы [56]. В работе [148] для разных сценариев включения на- Рис. 22. Профили ( )zH x (а) и тока ( )J x (б) в полосе с ани- зотропным пиннингом, который описывается (76) с = 0,5,p − = 0,5q [147] (см. рис. 20). Здесь = 0,2azH , 0,6 ; пунктирные, штриховые, штрих-пунктирные и сплошные линии соответствуют = 0axH , 0,24 , 0,35 и 0,6 соответст- венно. Магнитные поля и J в единицах (0)cj d . При любом > 0,6axH профили практически совпадают с теми, что для = 0,6axH , а при < 0,2axH они близки к тем, что при = 0axH . Профили при = 0,6axH также почти совпадают с профилями для изотропного пиннинга с ( ) = ( / 2)c cj jθ π⊥ ⊥ (сплошные линии с точками). Профили ( )zH x и ( )J x оди- наковы для всех трех сценариев включения aH . 0 2, 0 2, 0 4, 0 4, 0 6, 0 6, 0 8, 0 8, 1,0 1,0 0 0 2, 0 4, 0 6, 0 8, 1,0 p = –0 5, q = 0 5, x / w x / w 0 24, 0 24, 0 35, 0 35, 0 60, 0 60, èçîòðîïíûé ñëó÷àé èçîòðîïíûé ñëó÷àé Í = 0àõ Í = 0àõ Í =àz 0,2 Í =àz 0,2 Í = 6àz 0, –J (x ) H (x ) z à á0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0 * Эксперименты в наклонном магнитном поле в [139] не проводились. Критические состояния в тонких плоских сверхпроводниках второго рода Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 45 клонного внешнего магнитного поля было продемон- стрировано хорошее согласие теоретических и экспе- риментальных результатов для этой асимметрии про- филей поля на поверхности Nb 3Sn пластины. 5.2. Критические Т-состояния с постоянным cj ⊥ Рассмотрим теперь случай, когда внешнее магнит- ное поле, приложенное к бесконечно длинной полосе, наклоняется вдоль ее оси, т.е. в плоскости yz [45]. Иными словами, рассмотрим ситуацию, когда сначала включается компонента azH , а затем в момент време- ни = 0t к полосе прикладывается поле ayH . В этом случае в образце при > 0t будут осуществляться кри- тические Т-состояния, поскольку ayH направлено вдоль токов, которые генерируются в биновском кри- тическом состоянии полосы, возникшем после вклю- чения azH . Для простоты предполагаем далее, что критическая плотность токов cj ⊥ постоянна (не зави- сит от H ), и пусть azH значительно превышает =c cJ j d⊥ , так что в начальный момент времени = 0t полоса находится в биновском критическом состоянии, в котором компонента zH полностью проникла в об- разец. В этом состоянии листовой ток yJ имеет вид: ( ) =y cJ x J при < 0w x− ≤ и ( ) =y cJ x J− при > 0w x≥ . Как и в предыдущих разделах, при решении про- блемы критического состояния в полосе используем процедуру расщепления, сводя эту проблему к реше- нию соответствующей одномерной задачи по толщине образца и к проблеме для бесконечно тонкой полосы. Решение одномерной проблемы дает следующие вы- ражения для компонент электрического поля xE и yE [45]: 0= ,x ayE H zμ− & (78) 0= cos ( cos / ) , 2 ay y c H d E g J J μ θ θ & (79) где функция ( )g u определяется соотношением ( ) = arsinh (1/ )u g g g , а угол θ задает наклон ло- кального магнитного поля к оси z . Поле xE обуслов- лено наклоном вихрей вдоль y , когда ayH приклады- вается к сверхпроводящей полосе. Отметим, что /2 /2 ( ) = 0 d xd E z dz−∫ , так как верхняя ( > 0z ) и нижняя ( < 0z ) части вихревой линии смещаются в противо- положных направлениях при ее наклоне. С другой сто- роны, yE не зависит от z . Эта компонента электриче- ского поля происходит от дрейфа вихря как целого в x направлении, когда ayH прикладывается к образцу. Ситуация практически совпадает с той, что имела ме- сто при рассмотрении продольного эффекта встряхи- вания в полосе (см. раздел 3.1.2). Различие состоит в том, что теперь магнитное поле ayH увеличивается монотонно, а не осциллирует вокруг = 0ayH , и в дан- ном случае допускаются достаточно большие, даже по сравнению с azH , значения ayH . Используя (79), в работе [45] были рассчитаны про- фили ( , ) | ( , ) |ay y ayJ x H J x H≡ , которые осуществляют- ся в полосе в процессе увеличения ayH , т.е. по мере наклона приложенного магнитного поля в направлении ее оси. Эти профили показаны на рис. 23. Их форма похожа на форму профилей в продольном эффекте встряхивания, и их амплитуда тоже уменьшается с ростом ayH . Однако в отличие от эффекта встряхива- ния, эта амплитуда не падает до нуля, а стремится к конечному пределу, который, как оказывается, зависит только от параметра = ( / 2 )( / )az cP d w H J [45]. Таким образом, при ay azH H пространственные распреде- ления ( , )ayJ x H [а значит, и ( , )z ayH x H ] достигают ненулевых предельных профилей. Другими словами, с ростом ayH скорость затухания токов J уменьшается так резко, что эти токи не достигают нуля даже в пре- деле ayH → ∞ . Однако надо иметь в виду, что условие (18), обеспечивающее отсутствие пересечения вих- ревых линий, в данном случае сводится к неравенст- ву [45] tg < ,cay az c jH H j θ ⊥ ≈ & (80) которое и накладывает ограничение на ayH сверху для применимости полученного результата. На рис. 24 показан магнитный момент полосы zM , рассчитанный на единицу ее длины в критических Т- состояниях, развивающихся в процессе увеличения ayH . В начальный момент времени, когда осущест- вляется биновское критическое состояние, (0) =zM 2 cJ w= − . Увеличение ayH приводит к релаксации zM . При этом нормированный магнитный момент ( ) / (0)z ay zM H M зависит только от /ay azH H и пара- Рис. 23. Ток ( ) | ( ) |yJ x J x≡ в полосе с 2 / = 20w d и = 20azH при различных увеличивающихся значениях ayH [45]. Магнитные поля в единицах =c cJ j d⊥ . 0 2, 0 4, 0 6, 0 8, 1,00 0 2, 0 4, 0 6, 0 8, 1,0 16 x / w J /J/J c Haz = 20, 2w/d = 20Hay = 0 100 500 0 03, 0 1, 0 3, 1 2 4 8 50 Г.П. Микитик 46 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 метра P , и этот магнитный момент достаточно хоро- шо аппроксимируется функцией [45]: 0,65 ( ) exp { 1,67[ arctg ( / )] }. (0) z ay ay az z M H P H H M ≈ − (81) Интересно, что при ay azH H эта функция согласует- ся с выражением (44), если положить = ( / ) ,ayH t hω π а в (44) использовать значения = 1,68p и = 0,64,q харак- терные для продольного эффекта встряхивания. Значе- ния насыщения магнитного момента ( ) / (0)z zM M∞ определяются вышеупомянутыми предельными про- филями тока и зависят от единственного параметра = ( / 2 ) /az cP d w H J (см. рис. 24). Когда включается поле ayH , не только изменяется компонента магнитного момента zM , но также появ- ляется магнитный момент вдоль оси полосы yM . По- явление (и рост) компоненты магнитного момента yM с увеличением наклона внешнего магнитного поля свя- зано с переориентацией циркулирующих в образце токов. При такой переориентации возникают токи, те- кущие в плоскости xz . Однако, как отмечено выше, токи, циркулирующие в плоскости xy , и порожденная ими компонента zM , вообще говоря, не затухают до нуля, по крайней мере, пока не начнется пересечение вихревых линий в образце. Таким образом, распреде- ление токов по образцу становится весьма сложным при, казалось бы, очень простой геометрии экспери- мента. Представленные выше результаты для релаксации ( , )ayJ x H [а значит, и ( , )z ayH x H ] к предельным про- филям и магнитного момента ( )z ayM H к его предель- ным значениям могут быть проверены в эксперимен- тах, которые подобны тем, что выполнены в работах [142,143]. Однако в отличие от работ [142,143] магнит- ное поле azH должно включаться до ayH . Это гаран- тирует отсутствие пересечения вихревых линий при не слишком больших значениях ayH . Если же подобно экспериментам [142,143] поле ayH включается до azH , то в образце будут реализовываться совершенно иные критические состояния, которые до сих пор тео- ретически не изучены. 1. C.P. Bean, Phys. Rev. Lett. 8, 250 (1962). 2. A.M. Campbell and J.E. Evetts, Adv. Phys. 50, 1249 (2001). 3. E.H. Brandt, Rep. Progr. Phys. 58, 1465 (1995). 4. E.H. Brandt, M.V. Indenbom, and A. Forkl, Europhys. Lett. 22, 735 (1993). 5. E.H. Brandt and M.V. Indenbom, Phys. Rev. B48, 12893 (1993). 6. E. Zeldov, J.R. Clem, M. McElfresh, and M. Darwin, Phys. Rev. B49, 9802 (1994). 7. P.N. Mikheenko and Yu.E. Kuzovlev, Physica C204, 229 (1993). 8. C.Y. Pang, A.M. Campbell, and P.G. MacLaren, IEEE Trans. Magn. 17, 134 (1981). 9. L. Prigozhin, J. Comput. Phys. 129, 190 (1996). 10. L. Prigozhin, J. Comput. Phys. 144, 180 (1998). 11. Ph. Vanderbemden, Z. Hong, T.A. Coombs, S. Denis, M. Ausloos, J. Schwartz, I.B. Rutel, N. Hari Babu, D.A. Cardwell, and A.M. Campbell, Phys. Rev. B75, 174515 (2007). 12. Ph. Vanderbemden, Z. Hong, T.A. Coombs, M. Ausloos, N. Hari Babu, D.A. Cardwell, and A.M. Campbell, Supercond. Sci. Technol. 20, 174 (2007). 13. J.R. Clem, Phys. Rev. B26, 2463 (1982). 14. J.R. Clem, Phys. Rev. Lett. 38, 1425 (1977). 15. E.H. Brandt, J. Low Temp. Phys. 44, 33 (1981). 16. J.R. Clem and A. Perez Gonzalez, Phys. Rev. B30, 5041 (1984). 17. A. Perez Gonzalez and J.R. Clem, Phys. Rev. B31, 7048 (1985). 18. R. Boyer and M.A.R. LeBlanc, Solid State Commun. 24, 261 (1977). 19. R. Boyer, G. Fillion, and M.A.R. LeBlanc, J. Appl. Phys. 51, 1692 (1980). 20. F. Perez-Rodriguez, A. Perez-Gonzalez, J.R. Clem, G. Gandolfini, and M.A.R. LeBlanc, Phys. Rev. B56, 3473 (1997). Рис. 24. Магнитный момент полосы zM как функция /ay azH H (вверху) и как функция arctg ( / )ay azP H H (вни- зу) для ( / 2 ) / = 0,05az cP d w H J≡ , 0,1 , 0,2 , 0,5 , 1 , 5 [45]. Точки показывают аппроксимацию (81). На вставке показана зависимость ( )zM ∞ от P (сплошная линия с кружками). 0,5 0,5 1,0 1,0 1 1,5 1,5 2,0 2,0 2,5 3,00 0 0,2 0,2 0,4 0,4 0,6 0,6 0,8 0,8 1,0 1,0 Hay / Haz 0,1 0,2 0,5 1 5 P = (d/2w)*H /Jaz c = 0,05 0 M (H )/ M (0 ) z ay z M ( )/ M (0 ) z z M (H )/ M (0 ) z ay z P P arctg (H /H ) ay az 1010,10,0010,0001 çíà÷åíèÿ íàñûùåíèÿ Критические состояния в тонких плоских сверхпроводниках второго рода Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 47 21. M.A.R. LeBlanc, D. LeBlanc, A. Golebiowski, and G. Fillion, Phys. Rev. Lett. 66, 3309 (1991). 22. И.Ф. Волошин, А.В. Калинов, С.Е. Савельев, Л.М. Фишер, В.А. Ямпольский, Ф. Перес Родригес, ЖЭТФ 111, 1071 (1997). 23. С.Е. Савельев, Л.М. Фишер, В.А. Ямпольский, ЖЭТФ 112, 936 (1997). 24. L.M. Fisher, A.V. Kalinov, S.E. Savel'ev, I.F. Voloshin, V.A. Yampol'skii, M.A.R. LeBlanc, and S. Hirscher, Physica C278, 169 (1997). 25. L.M. Fisher, A.V. Kalinov, I.F. Voloshin, I.V. Baltaga, K.V. Il'enko, and V.A. Yampol'skii, Solid State Commun. 97, 833 (1996). 26. L.M. Fisher, K.V. Il'enko, A.V. Kalinov, M.A.R. LeBlanc, F. Perez-Rodriguez, S.E. Savel'ev, I.F. Voloshin, and V.A. Yampol'skii, Phys. Rev. B61, 15382 (2000). 27. J. Gilchrist, Supercond. Sci. Technol. 7, 849 (1994). 28. Y. Yeshurun, A.P. Malozemff, and A. Shaulov, Rev. Mod. Phys. 68, 911 (1996). 29. I.M. Babich and G.P. Mikitik, Phys. Rev. B48, 1303 (1993). 30. I.M. Babich and G.P. Mikitik, Phys. Rev. B54, 6576 (1996). 31. I.M. Babich, G.P. Mikitik, and E.H. Brandt, Phys. Rev. B66, 014520 (2002). 32. I.M. Babich, G.P. Mikitik, and E.H. Brandt, Phys. Rev. B68, 052509 (2003). 33. I.M. Babich, G.P. Mikitik, and E.H. Brandt, Phys. Rev. B70, 174508 (2004). 34. E.H. Brandt, Phys. Rev. B49, 9024 (1994). 35. E.H. Brandt, Phys. Rev. B54, 4246 (1996). 36. E.H. Brandt, Phys. Rev. B64, 024505 (2001). 37. L.W. Conner, A.P. Malozemoff, and I.A. Campbell, Phys. Rev. B44, 403 (1991). 38. B. Roas, L. Schultz, and G. Saemann-Ischenko, Phys. Rev. Lett. 64, 479 (1990). 39. B. Holzapfel, G. Kreiselmeyer, M. Kraus, S. Bouffard, S. Klaumünzer, L. Schultz, and G. Saemann-Ischenko, Phys. Rev. B48, 600 (1993). 40. V.F. Solovjov, V.M. Pan, and H.C. Freyhard, Phys. Rev. B50, 13724 (1994). 41. М.А. Оболенский, А.В. Бондаренко, В.А. Шкловский, М. Эль-Сиидави, Р.В. Вовк, А.В. Самойлов, Д. Ниархос, М. Писсас, Г. Каллиас, А.Г. Сиваков, ФНТ 21, 1200 (1995) [Low Temp. Phys. 21, 917 (1995)]. 42. И.Ф. Волошин, А.В. Калинов, К.И. Кугель, А.Л. Рахманов, Л.М. Фишер, ЖЭТФ 111, 2158 (1997). 43. V. Pan, Y. Cherpak, V. Komashko, S. Pozigun, C. Tretia- tchenko, A. Semenov, E. Pashitskii, and A.V. Pan, Phys. Rev. B73, 054508 (2006). 44. G.P. Mikitik and E.H. Brandt, Phys. Rev. B71, 012510 (2005). 45. E.H. Brandt and G.P. Mikitik, Phys. Rev. B76, 064526 (2007). 46. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Электродинамика сплош- ных сред, Наука, Москва (1982). 47. J. Bardeen and M.J. Stephen, Phys. Rev. 140, 1197 (1965). 48. Ch. Jooss and V. Born, Phys. Rev. B73, 094508 (2006). 49. C. Romero-Salazar and F. Perez-Rodriguez, Appl. Phys. Lett. 83, 5256 (2003). 50. C. Romero-Salazar and F. Perez-Rodriguez, Physica C404, 317 (2004). 51. V.A. Shklovskij, Fiz. Nizk. Temp. 25, 153 (1999) [Low Temp. Phys. 25, 109 (1999)]. 52. G.P. Mikitik and E.H. Brandt, Phys. Rev. B62, 6800 (2000). 53. G.P. Mikitik and E.H. Brandt, Phys. Rev. B79, 020506(R) (2009). 54. G.P. Mikitik and E.H. Brandt, Phys. Rev. B60, 592 (2000). 55. K. Itaka, T. Shibauchi, M. Yasugaki, T. Tamegai, and S. Okayasu, Phys. Rev. Lett. 86, 5144 (2001). 56. G.P. Mikitik and E.H. Brandt, Phys. Rev. B72, 064506 (2005). 57. M. Willemin, C. Rossel, J. Hofer, H. Keller, A. Erb, and E. Walker, Phys. Rev. B58, 5940 (1998). 58. G.P. Mikitik and E.H. Brandt, Phys. Rev. B69, 134521 (2004). 59. G.P. Mikitik and E.H. Brandt, Phys. Rev. Lett. 89, 027002 (2002). 60. G.P. Mikitik and E.H. Brandt, Phys. Rev. B67, 104511 (2003). 61. G.P. Mikitik and E.H. Brandt, Phys. Rev. B64, 092502 (2001). 62. M. Willemin, A. Schilling, H. Keller, C. Rossel, J. Hofer, U. Welp, W.K. Kwok, R.J. Olsson, and G.W. Crabtree, Phys. Rev. Lett. 81, 4236 (1998). 63. N. Avraham, B. Khaykovich, Yu. Myasoedov, M. Rappaport, H. Shtrikman, D.E. Feldman, T. Tamegai, P.H. Kes, M. Li, M. Konczykowski, Kees van der Beek, and E. Zeldov, Nature 411, 451 (2001). 64. H. Beidenkopf, N. Avraham, Y. Myasoedov, H. Shtrikman, E. Zeldov, B. Rosenstein, E.H. Brandt, and T. Tamegai, Phys. Rev. Lett. 95, 257004 (2005). 65. H. Beidenkopf, T. Verdene, Y. Myasoedov, H. Shtrikman, E. Zeldov, B. Rosenstein, D. Li, and T. Tamegai, Phys. Rev. Lett. 98, 167004 (2007). 66. N. Avraham, E.H. Brandt, G.P. Mikitik, Y. Myasoedov, M. Rappoport, E. Zeldov, C.J. van der Beek, M. Konczykowski, and T. Tamegai, Phys. Rev. B77, 214525 (2008). 67. S. Goldberg, Y. Segev, Y. Myasoedov, I. Gutman, N. Avraham, M. Rappoport, E. Zeldov, T. Tamegai, C.W. Hicks, and K.A. Moler, Phys. Rev. B79, 064523 (2009). 68. S.O. Valenzuela and V. Bekeris, Phys. Rev. Lett. 84, 4200 (2000). 69. X.S. Ling, S.R. Park, B.A. McClain, S.M. Choi, D.C. Dender, and J.W. Lynn, Phys. Rev. Lett. 86, 712 (2001). 70. G. Ravikumar, H. Küpfer, A. Will, R. Meier-Hirmer, and Th. Wolf, Phys. Rev. B65, 094507 (2002). 71. M.P. Risse, M.G. Aikele, S.G. Doettinger, R.P. Huebener, C.C. Tsuei, and M. Naito, Phys. Rev. B55, 15191 (1997). 72. M.G. Aikele, R.P. Huebener, D. Weischer, and C.C. Tsuei, Physica C290, 109 (1997). 73. A. Uksusman, Y. Wolfus, A. Friedman, A. Shaulov, and Y. Yeshurun, J. Appl. Phys. 105, 093921 (2009). 74. E.H. Brandt and G.P. Mikitik, J. Low Temp. Phys. 131, 1033 (2003). 75. N. Sakamoto, F. Irie, and K. Yamafuji, J. Phys. Soc. Jpn. 41, 32 (1976). 76. E.H. Brandt, Phys. Rev. Lett. 74, 3025 (1995). Г.П. Микитик 48 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 77. E.H. Brandt and G.P. Mikitik, Supercond. Sci. Tech. 20, S111 (2007). 78. В.В. Андрианов, В.Б. Зенкевич, В.В. Кургузов, В.В. Сычев, ЖЭТФ 58, 1523 (1970). 79. М.Л. Нестеров, Т.М. Слипченко, В.А. Ямпольский, ФНТ 31, 656 (2005) [Low Temp. Phys. 31, 498 (2005)]. 80. W.T. Norris, J. Phys. D: Appl. Phys. 3, 489 (1970). 81. Н.И. Мусхалишвили, Сингулярные интегральные урав- нения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике, Наука, Москва (1968). 82. Y. Togawa, K. Harada, T. Akashi, H. Kasai, T. Matsuda, F. Nori, A. Maeda, and A. Tonomura, Phys. Rev. Lett. 95, 087002 (2005). 83. G. Blatter, M.V. Feigel'man, V.B. Geshkenbein, A.I. Larkin, and V.M. Vinokur, Rev. Mod. Phys. 66, 1125 (1994). 84. M. Däumling, J.M. Seuntjens, and D.C. Larbalestier, Nature 346, 332 (1990). 85. G. Yang, P. Shang, S.D. Sutton, I.P. Jones, J.S. Abell, and C.E. Gough, Phys. Rev. B48, 4054 (1993). 86. J.L. Vargas and D.C. Larbalestier, Appl. Phys. Lett. 60, 1741 (1994). 87. Y. Yeshurun, N. Bontemps, L. Burlachkov, and A. Kapi- tulnik, Phys. Rev. B49, 1548 (1994). 88. L. Klein, E.R. Yacoby, Y. Yeshurun, A. Erb, G. Müller- Vogt, V. Breit, and H. Wühl, Phys. Rev. B49, 4403 (1994). 89. A.A. Zhukov, H. Küpfer, H. Claus, H. Wühl, M. Kläser, and G. Müller-Vogt, Phys. Rev. B52, R9871 (1995). 90. A. Erb, J.-Y. Genoud, F. Marti, M. Däumling, E. Walker, and R. Flükiger, J. Low Temp. Phys. 105, 1023 (1996). 91. G.K. Perkins, L.F. Cohen, A.A. Zukov, and A.D. Caplin, Phys. Rev. B51, 8513 (1995). 92. M. Jirsa, L. Pust, D. Dlouhý, and M.R. Koblischka, Phys. Rev. B55, 3276 (1997). 93. G.K. Perkins, L.F. Cohen, A.A. Zhukov, and A.D. Caplin, Phys. Rev. B55, 8110 (1997). 94. B. Khaykovich, E. Zeldov, D. Majer, T.W. Li, P.H. Kes, and M. Konczykowski, Phys. Rev. Lett. 76, 2555 (1996). 95. R. Wördenweber, P.H. Kes, and C.C. Tsuei, Phys. Rev. B33, 3172 (1986). 96. R. Wördenweber and P.H. Kes, Cryogenics 29, 321 (1989). 97. S. Bhattacharya and M.J. Higgins, Phys. Rev. Lett. 70, 2617 (1993). 98. M.J. Higgins and S. Bhattacharya, Physica C257, 232 (1996). 99. Y. Paltiel, E. Zeldov, Y.N. Myasoedov, H. Shtrikman, S. Bhattacharya, M.J. Higgins, Z.L. Xiao, E.Y. Andrei, P.L. Gammel, and D.J. Bishop, Nature 403, 398 (2000). 100. Y. Paltiel, E. Zeldov, Y. Myasoedov, M.L. Rappaport, G. Jung, S. Bhattacharya, M.J. Higgins, Z.L. Xiao, E.Y. Andrei, P.L. Gammel, and D.J. Bishop, Phys. Rev. Lett. 85, 3712 (2000). 101. M. Marchevsky, M.J. Higgins, and S. Bhattacharya, Nature 409, 591 (2001). 102. S.S. Banerjee, A.K. Grover, M.J. Higgins, G.I. Menon, P.K. Mishra, D. Pal, S. Ramakrishnan, T.V. Chandrasekhar Rao, G. Ravikumar, V.C. Sahno, S. Sarkar, and C.V. Tomy, Physica C355, 39 (2001). 103. K. Deligiannis, P.A.J. de Groot, M. Oussena, S. Pinfold, R. Langan, R. Gagnon, and L. Taillefer, Phys. Rev. Lett. 79, 2121 (1997). 104. H. Küpfer, Th. Wolf, C. Lessing, A.A. Zhukov, X. Lançon, R. Meier-Hirmer, W. Schauer, and H. Wühl, Phys. Rev. B58, 2886 (1998). 105. T. Nishizaki, T. Naito, and N. Kobayashi, Phys. Rev. B58, 11169 (1998). 106. S. Kokkaliaris, P.A.J. de Groot, S.N. Gordeev, A.A. Zhukov, R. Gagnon, and L. Taillefer, Phys. Rev. Lett. 82, 5116 (1999); 107. S. Kokkaliaris, A.A. Zhukov, P.A.J. de Groot, R. Gagnon, L. Taillefer, and T. Wolf, Phys. Rev. B61, 3655 (2000). 108. D. Giller, A. Shaulov, Y. Yeshurun, and J. Giapintzakis, Phys. Rev. B60, 106 (1999). 109. T. Nishizaki, T. Naito, S. Okayasu, A. Iwase, and N. Kobayashi, Phys. Rev. B61, 3649 (2000). 110. H. Küpfer, Th. Wolf, R. Meier-Hirmer, and A.A. Zhukov, Physica C 332, 80 (2000). 111. M. Pissas, S. Lee, A. Yamamoto, and S. Tajima, Phys. Rev. Lett. 89, 097002 (2002). 112. M. Zehetmayer, M. Eisterer, J. Jun, S.M. Kazakov, J. Karpinski, B. Birajdar, O. Eibl, and H.W. Weber, Phys. Rev. B69, 054510 (2004). 113. G.P. Mikitik and E.H. Brandt, Phys. Rev. B62, 6812 (2000). 114. E.M. Gyorgy, R.B. van Dover, K.A. Jackson, L.F. Schneemeyer, and J.V. Waszczak, Appl. Phys. Lett. 55, 283 (1989). 115. И.М. Бабич, Г.П. Микитик, Письма в ЖЭТФ 64, 538 (1996). 116. I.M. Babich and G.P. Mikitik, Phys. Rev. B58, 14207 (1998). 117. G.P. Mikitik, Physica C332, 398 (2000). 118. T. Giamarchi and P. Le Doussal, Phys. Rev. B55, 6577 (1997). 119. G.P. Mikitik and E.H. Brandt, Phys. Rev. B64, 184514 (2001). 120. D. Giller, A. Shaulov, T. Tamegai, and Y. Yeshurun, Phys. Rev. Lett. 84, 3698 (2000). 121. C.J. van der Beek, S. Colson, M.V. Indenbom, and M. Konczykowski, Phys. Rev. Lett. 84, 4196 (2000). 122. M.V. Indenbom, E.H. Brandt, C.J. van der Beek, and M. Konczykowski, Phys. Rev. B70, 144525 (2004). 123. I.M. Babich, G.P. Mikitik, and E.H. Brandt, Phys. Rev. B74, 224501 (2006). 124. B. Kalisky, D. Giller, A. Shaulov, and Y. Yeshurun, Phys. Rev. B67, 140508 (2003). 125. B. Kalisky, A. Shaulov, and Y. Yeshurun, Phys. Rev. B68, 012502 (2003). 126. B. Kalisky, Y. Bruckental, A. Shaulov, and Y. Yeshurun, Phys. Rev. B68, 224515 (2003). 127. B. Kalisky, Y. Myasoedov, A. Shaulov, T. Tamegai, E. Zeldov, and Y. Yeshurun, Phys. Rev. Lett. 98, 107001 (2007). 128. Ch. Jooss, J. Albrecht, H. Kuhn, S. Leonhardt, and H. Kronmüller, Rep. Prog. Phys. 65, 651 (2002). 129. M.V. Indenbom, Th. Shuster, M.R. Koblischka, A. Forkl, H. Kronmüller, L.A. Dorosinskii, V.K. Vlasko-Vlasov, Критические состояния в тонких плоских сверхпроводниках второго рода Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 49 A.A. Polyanskii, R.L. Prozorov, and V.I. Nikitenko, Physica C209, 259 (1993). 130. M.R. Koblischka and R.J. Wijngaarden, Supercond. Sci. Technol. 8, 199 (1995). 131. E. Zeldov, D. Majer, M. Konczykowski, A.I. Larkin, V.M. Vinokur, V.B. Geshkenbein, N. Chikumoto, and H. Shtrikman, Europhys. Lett. 30, 367 (1995). 132. E.H. Brandt, Phys. Rev. B46, 8628 (1992). 133. B.J. Roth, N.G. Sepulveda, and J.P. Wikswo, Jr., J. Appl. Phys. 65, 361 (1989). 134. P.D. Grant, M.V. Denhoff, W. Xing, P. Brown, S. Govorkov, J.C. Irwin, B. Heinrich, H. Zhou, A.A. Fife, and A.R. Cragg, Physica C229, 289 (1994). 135. R.J. Wijngaarden, H.J.W. Spoelder, R. Surdeanu, and R. Griessen, Phys. Rev. B54, 6742 (1996). 136. T.H. Johansen, M. Baziljevich, H. Bratsberg, Y. Galperin, P.E. Lindelof, Y. Shen, and P. Vase, Phys. Rev. B54, 16264 (1996). 137. A.E. Pashitski, A. Gurevich, A.A. Polyanskii, D.S. Larbalestier, A. Goyal, E.D. Specht, D.M. Kroeger, J.A. DeLuca, and J.E. Tkaczyk, Science 275, 367 (1997). 138. Ch. Jooss, R. Warthmann, A. Forkl, and H. Kronmüller, Physica C299, 215 (1998). 139. F. Laviano, D. Botta, A. Chiodoni, R. Gerbaldo, G. Ghigo, L. Gozzelino, and E. Mezzetti, Phys. Rev. B68, 014507 (2003). 140. G.P. Mikitik and E.H. Brandt, Physica C437-438, 204 (2006). 141. G.P. Mikitik and E.H. Brandt, AIP Conference Proceedings 850, 829 (2006). 142. M.V. Indenbom, A. Forkl, B. Ludescher, H. Kronmüller, H.-U. Habermeier, B. Leibold, G. D'Anna, T.W. Li, P.H. Kes, and A.A. Menovsky, Physica C226, 325 (1994). 143. M.V. Indenbom, C.J. van der Beek, V. Berseth, W. Benoit, G. D'Anna, A. Erb, E. Walker, and R. Flükiger, Nature 385, 702 (1997). 144. M.A. Avila, L. Civale, A.V. Silhanek, R.A. Ribeiro, O.F. de Lima, and H. Lanza, Phys. Rev. B64, 144502 (2001). 145. A.A. Zhukov, G.K. Perkins, Yu.V. Bugoslavsky, and A.D. Caplin, Phys. Rev. B56, 2809 (1997). 146. G.P. Mikitik, E.H. Brandt, and M. Indenbom, Phys. Rev. B70, 014520 (2004). 147. E.H. Brandt and G.P. Mikitik, Phys. Rev. B72, 024516 (2005). 148. D.G. Gheorghe, M. Menghini, R.J. Wijngaarden, E.H. Brandt, G.P. Mikitik, and W. Goldacker, Phys. Rev. B73, 224512 (2006). Critical states in thin flat type-II superconductors in perpendicular or inclined magnetic field (Review Article) G.P. Mikitik The critical state theory of the vortex-lattice in type- II superconductors is considered without the assump- tion that the circulating currents are perpendicular to the local magnetic fields in the sample. Using this theory, several critical state problems are solved for thin flat superconductors in an external magnetic field perpendicular to their plane: a theory of vortex-shaking effect is developed for rectangular superconducting platelets, the critical states are studied in superconducting samples with anisotropic flux-line pinning and in those with the order-disorder transition in their vortex lattice. Besides, the critical states in a long super- conducting strip in an inclined magnetic field are investigated. PACS: 74.25.Sv Critical currents; 74.25.Uv Vortex phases (includes vortex lattices, vortex liquids, and vortex glasses). Keywords: critical states of type-II superconduc- tors, vortex-shaking effect, anisotropic pinning of vortex lines, critical current density, inclined magnetic field.