ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 1, 2014 57 Радиофизика и радиоастрономия. 2014, Т. 19, № 1, c. 57–80 © С. Л. Бердник, Д. Ю. Пенкин, В. А. Катрич, Ю. М. Пенкин, М. В. Нестеренко, 2014 С. Л. БЕРДНИК, Д. Ю. ПЕНКИН, В. А. КАТРИЧ, Ю. М. ПЕНКИН, М. В. НЕСТЕРЕНКО Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина, пл. Свободы, 4, г. Харьков, 61022, Украина Е–mail: beserbox@gmail.com ÈÑÏÎËÜÇÎÂÀÍÈÅ ÊÎÍÖÅÏÖÈÈ ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÍÎÃÎ ÈÌÏÅÄÀÍÑÀ  ÇÀÄÀ×ÀÕ ÝËÅÊÒÐÎÄÈÍÀÌÈÊÈ (75 ËÅÒ ÑÏÓÑÒß) Представлены результаты аналитического обзора литературных источников по вопросу использования импедансного подхода в решении краевых задач электродинамики за 75-летний период после формулировки М. А. Леонтовичем им- педансных граничных условий для электромагнитного поля на поверхности проводящего тела. За этот период импе- дансный подход был обобщен на широкий круг электродинамических задач, в которых его использование позволило значительно расширить пределы математического моделирования, адекватно учитывающего физические свойства реальных граничных поверхностей. Поэтому методологически важно систематизировать опыт многих авторов по применению такого подхода. Проанализированы пределы и условия корректного применения импедансного граничного условия и представлены типы металлодиэлектрических структур, для которых в настоящее время известны методы теоретического определения значений поверхностных импедансов. Уделено внимание характеристикам поверхностей структур пленочного типа и электрически тонких импедансных вибраторов. Ключевые слова: импедансный подход, граничные условия импедансного типа, поверхностный импеданс, эффективный импеданс, импедансная поверхность УДК 537.87:01.7 Ñîäåðæàíèå 1. Введение 2. Импедансные граничные условия и пределы их корректного применения 3. Поверхностные импедансы металлодиэлек- трических структур 3.1. Реальные металлы 3.2. Шероховатые и гофрированные метал- лические экраны 3.3. Слоистые диэлектрические структуры 3.4. Тонкие диэлектрические частотно-се- лективные и киральные слои 4. Поверхностный импеданс электрически тон- ких вибраторов 5. Выводы Литература 1. Ââåäåíèå Выдающийся советский физик Михаил Алексан- дрович Леонтович (7.03.1903 г. – 30.03.1981 г.), академик АН СССР (с 1946 г.), в период с 1934 по 1941 гг. работал в Лаборатории колебаний Физи- ческого института АН СССР [1]. Его более мо- лодой коллега по институту Рытов Сергей Михай- лович (3.07.1908 г. – 22.10.1996 г.), член-коррес- пондент АН СССР (с 1968 г. [1]), в своем очерке “В лаборатории колебаний”, который сохранился в архивах научно-популярного журнала РАН “При- рода”, вспоминает следующие факты. “В 1939 г. он поставил передо мной другую задачу: найти волновое электромагнитное поле вблизи границы хорошего проводника, т. е. пост- роить хотя бы приближенную, но общую теорию сильного скин-эффекта. Эта задача имела не- которую предысторию, о которой я тогда ничего не знал. Вероятно, в 1938 г. Леонтович сформулировал свои широко известные ныне граничные условия для волнового электромагнитного поля на поверх- ностях хороших проводников. Смысл и ценность этих условий заключаются в том, что они позво- ляют решать дифракционные задачи о поле вне хорошо проводящих тел, не рассматривая поля внутри них. Это существенно упрощает решение. Хотя правильность условий была несомненна, сам Леонтович не был полностью удовлетворен. Ведь оставались открытыми вопросы о точности по- лучаемых решений, о допустимой кривизне по- верхности тел и т. п. Другими словами, он хотел иметь обоснование своих граничных условий и оценку их точности. Однако, ставя передо мной вопрос о теории скин-эффекта, он не сказал мне ни слова о граничных условиях, видимо, желая, как я теперь понимаю, испытать мою догадли- вость. Я построил теорию для общего случая произвольной падающей на тело волны и для 58 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 1, 2014 С. Л. Бердник и др. поверхности тела, обладающей двойной кри- визной. При уменьшении толщины скин-слоя, конечно, получались для внешнего поля гра- ничные условия Леонтовича, но именно это я и проглядел, т. е. экзамена на догадливость не выдержал. Поэтому, одобрив работу, он выска- зал и порицание: Как же вы не заметили, что из ваших результатов вытекают приближенные гра- ничные условия?” Из приведенной цитаты становится понятным, что именно 1938-й следует считать истинным го- дом рождения импедансных граничных условий Леонтовича, а также – почему работа С. М. Ры- това [2], поступившая в редколлегию ЖЭТФ 19 декабря 1939 г., обосновывала с позиций тео- рии скин-эффекта точность импедансных гранич- ных условий, которые будут официально опубли- кованы М. А. Леонтовичем только в 1948 г. [3, 4]. Воля обстоятельств, связанных с событиями вто- рой мировой войны, и требовательность Леонто- вича к качественному уровню своих научных статей привели не только к путанице с хроноло- гической “рокировкой” указанных публикаций. В статье [5], посвященной 80-летнему юби- лею М. А. Леонтовича, читаем: “В течение по- чти десяти лет эти граничные условия использо- вались во многих работах по высокочастотной электродинамике со ссылками на М. А. Леонто- вича как автора условий, но без ссылок на конк- ретную работу, потому что он, указав эти усло- вия в 1938–1939 гг., опубликовал такую рабо- ту только в 1948 г. Даже сам М. А. Леонтович до этой публикации писал о своих граничных ус- ловиях, ссылаясь на чужие работы, в которых ав- торы пользовались этим подходом, указывая на то, что он был предложен М. А. Леонтовичем”. Можно полагать, что заложницей сложившейся ситуации стала и изданная (практически одновре- менно с работой [2]) в 1940 г. монография [5] Александра Николаевича Щукина (22.07.1900 г. – 11.06.1990 г.), академика АН СССР (с 1953 г. [1]), который в это время возглавлял кафедру Военно- морской академии СССР (г. Ленинград). Посколь- ку эта монография была известной в научных кругах и являлась более доступной, чем журналь- ные публикации, достаточно продолжительный период (по крайней мере, с 1940 по 1948 гг.) при использовании импедансных граничных условий была принятой практика ссылаться именно на эту книгу, называя их условиями Щукина–Леонтовича. В современной литературе импедансные усло- вия разные авторы называют либо “условиями Леонтовича”, либо “условиями Щукина–Леонто- вича” согласно традициям, сложившимся в раз- личных научных школах. В последующие годы многими исследователя- ми импедансный подход обобщался на все более широкий круг электродинамических задач, что и определило необходимость систематизации резуль- татов, полученных в этом направлении. В 1961 г. М. А. Миллером и В. И. Талановым была опуб- ликована первая статья обзорного характера [6], а в 1990 г. А. С. Ильинским и Г. Я. Слепяном второй обзор [7], в которых был представлен детальный анализ известных на моменты напи- сания работ результатов. Однако множество пуб- ликаций, появившихся в научной литературе за последние десятилетия, вновь сделало актуаль- ным проведение такого анализа. Настоящая ста- тья является обзорной по вопросу дальнейшего развития концепции импедансного граничного условия в задачах электродинамики. Поскольку в прошлом 2013 г. исполнилось 110 лет со дня рождения М. А. Леонтовича, а его импедансно- му условию – 75 лет, авторы посвящают работу этим юбилейным датам. 2. Èìïåäàíñíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ è ïðåäåëû èõ êîððåêòíîãî ïðèìåíåíèÿ Импедансное условие Леонтовича на граничной поверхности S обычно записывают в следующем (уже ставшим традиционным) виде: [ , ] ,[ , ] ,S S n E n n H⎡ ⎤= −ζ ⎣ ⎦ G GG G G (1) где EG и HG – векторы напряженностей электри- ческого и магнитного гармонических полей; nG – нормаль к импедансной поверхности, направ- ленная внутрь импедансной области; коэффициент ζ – поверхностный импеданс. Нетрудно убедиться, что формула (1) являет- ся инвариантной к выбору вида временной за- висимости полей i te± ω и при требовании 0ζ = на идеально проводящей поверхности переходит к известному граничному условию (равенству нулю тангенциальных составляющих электричес- кого поля): [ , ] 0.Sn E = GG (2) ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 1, 2014 59 Использование концепции поверхностного импеданса в задачах электродинамики (75 лет спустя) Следует заметить, что граничное условие (1) является приближенным в том смысле, что ре- шение электродинамической задачи с его исполь- зованием представляет собой первый член асим- птотического разложения точного решения [2] по степеням малого параметра 0 1,ζ = ζ ζ  который называют также импедансом, нормиро- ванным на 0 0 0ζ = μ ε – характеристический импеданс внешнего пространства, заполненного средой с диэлектрической и магнитной проницае- мостями 0ε и 0μ соответственно. То обстоятельство, что в граничном условии (1) фигурируют тангенциальные составляющие электромагнитного поля, приводит к необходимо- сти ограничений и на геометрию поверхности S. Оказывается, что условие (1) имеет место для плоской границы раздела сред или такой границы, радиусы кривизны которой много больше длины падающей волны. Более общими условиями, учи- тывающими кривизну поверхности раздела S, являются условия вида [4, 8]: 1 2 1 2 2 1 , 2 S E H ikτ τ ⎛ ⎞χ − χ = ζ +⎜ ⎟⎝ ⎠ (3) 2 1 2 1 2 1 , 2 S E H ikτ τ ⎛ ⎞χ − χ = −ζ +⎜ ⎟⎝ ⎠ где 1χ и 2χ – главные гауссовы кривизны поверх- ности S; 2k – волновое число; Eτ и Hτ – танген- циальные составляющие электромагнитных полей на этой поверхности, расположенные в соответст- вующих плоскостях. В трактовке энциклопедических изданий [9] поверхностный импеданс электромагнитного поля есть соотношение, определяющее связь между тангенциальными компонентами комплексных амплитуд гармонического электрического и маг- нитного полей на некоторой поверхности S. Если значение импеданса не зависит от угла падения и поляризации падающей волны, то импеданс на- зывают сторонним [6]. Если его значение не за- висит от угла падения волны, но зависит от ее поляризации и пространственной ориентации S, поверхностный импеданс является двумерным тензором второго ранга. При этом компонен- ты тензора остаются по сути сторонними импе- дансами. То есть в общем случае аналогично работе [10] вводится понятие анизотропного по- верхностного импеданса в виде матрицы: 11 12 21 22 ˆ , ζ ζζ = ζ ζ (4) где ;jk jk jkR iXζ = + j и k – индексы, принимаю- щие значения 1, 2. Здесь требуется выполнение ряда неравенств: 11 0,R ≥ 22 0,R ≥ 2 11 22 12 214 ,R R ∗≥ ζ + ζ где 21∗ζ – комплексно сопряженная величина со- ставляющей 21.ζ Эти неравенства обеспечивают отсутствие на импедансной поверхности источ- ников дополнительной энергии, точнее, потоков энергии через поверхность внутрь рассматривае- мой области. Разумеется, что при этом в форму- лировках условий (1) и (3) постоянное значение (или скалярная функция) импеданса ζ должны быть заменены на тензор ζˆ (4). Полезно подчер- кнуть, что поверхность S, на которой требуется выполнение импедансного граничного условия, вообще говоря, не обязана совпадать с реальной граничной поверхностью импедансной области и может рассматриваться как условная гранич- ная поверхность. В спектральном анализе сложных структур и сред возникает необходимость введения пар- циального импеданса, значение которого в общем случае зависит как от частоты, так и от номера пространственных гармоник представления элек- тромагнитного поля. Такой тип импедансных за- дач не будет детально анализироваться в пред- ставленном обзоре, поскольку требует отдель- ного рассмотрения. В данном разделе дадим ха- рактеристики возможных вариантов формули- ровки импедансных условий и уровней точности решения задач, которые они обеспечивают. Опираясь на результаты работы [2], можно утверждать, что граничное условие (1) примени- мо при выполнении следующих требований: глу- бина проникновения в импедансную область и длина волны в ней малы по сравнению с длиной волны в окружающем пространстве, по сравне- нию с расстояниями от источников поля и по сравнению с радиусами кривизны граничной по- верхности S. Изменения материальных парамет- 60 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 1, 2014 С. Л. Бердник и др. ров среды импедансной области на длине волны (или на длине, равной глубине проникновения) малы. При этом в общем случае точность фор- мулы (1) была оценена как 2~ ,ζ поскольку в ней используется только первый член из полученного решения в виде асимптотического ряда по нор- мированному импедансу .ζ Аналогичную оцен- ку М. А. Леонтович получил в [4] другим спосо- бом, сравнивая коэффициент отражения плоской волны, найденный в импедансном приближении, с точным решением Френеля. Однако следует заметить, как отдельно указано в статье [2], что для определенного класса моделей распростра- нения электромагнитных волн поправки к (1) на- чинаются не с квадратичного, а с кубического члена ( )3~ ζ по малому параметру .ζ Несмотря на то, что в работах [2, 4] оценки точности применения условия (1) были сделаны на основании теории скин-эффекта для поверхно- стей проводящих тел, они однозначно распрост- раняются и на более общий случай импедансных областей [6]. Смысл в том, что все перечислен- ные выше требования могут быть интегрирова- ны в одно (чисто физического характера): поле в импедансной области должно иметь структуру плоской волны, распространяющейся в направле- нии нормали к границе S. Отметим, что это тре- бование (в рамках учитываемых приближений) почти всегда выполняется для электрически тон- ких импедансных структур, в том числе покры- тий пленочного типа. Представленное требование к прошедшему в импедансную область электромагнитному полю достаточно наглядно позволяет понять то, что оно не может быть строго выполнено для ре- жимов возбуждения импедансной поверхности волнами, падающими на нее под малыми углами и под углом Брюстера. В первом случае отра- женные и преломленные лучи являются скользя- щими вблизи поверхности, во втором – отражен- ный и преломленный луч обязаны быть взаимно перпендикулярными. В обоих случаях направле- ния преломленных лучей принципиально не со- впадают с направлением нормали к граничной поверхности. Поэтому принято различать три от- дельных случая формулировки импедансных ус- ловий (см. раздел 3), когда импеданс второй сре- ды берется равным найденному импедансу при падении волны по нормали (условие Леонтови- ча), под углом Брюстера и по касательной к по- верхности раздела. По-видимому, впервые для случая отражения электромагнитных волн от по- верхности реального грунта при углах, близких к углу скользящего падения, условие (1) было уточнено и использовано в монографии [11]. Сле- дует отметить, что в дальнейшем подобные си- туации исследовались в рамках спектральных методов и для ряда других сред (включая нео- днородную плазму). Результаты анализа различ- ных вариантов приближенных граничных усло- вий импедансного типа в случае применения пар- циальных импедансов представлены, например, в монографиях [12–15]. Разумеется, обоснование точности импеданс- ного граничного условия в виде (1) еще не яв- ляется полным ответом на вопрос: с какой точ- ностью можно вычислять конкретные характе- ристики волновых полей при его использовании для произвольных углов падения плоской волны на границу раздела сред? Общие выводы наг- лядно демонстрируют результаты работы [16], а именно: для волны перпендикулярной (относи- тельно плоскости граничной поверхности) поля- ризации наименьшую погрешность (по отноше- нию к точным значениям) во всем диапазоне углов падения волны дает вычисление коэффициентов отражения на основе приближенных граничных условий Леонтовича; для волны параллельной поляризации более предпочтительным являет- ся задание поверхностного импеданса при угле Брюстера. Заметим, что основанием для сравни- тельных расчетов в работе [16] являлись точные формулы, полученные в монографии [17]. При обсуждении точности граничного условия (1) до сих пор имелось в виду то, что из возмож- ного представления поверхностного импеданса ζ в виде степенного ряда нами учитывается толь- ко его линейное слагаемое. Однако именно это упрощение, во-первых, вынуждает нас ограничи- ваться только малыми значениями ,ζ а во-вто- рых, не обеспечивает нужную точность реше- ния задачи дифракции при падении волны под уг- лом Брюстера или по касательной к поверхности раздела. Поэтому возникла необходимость сде- лать следующий шаг в развитии импедансного под- хода – сформулировать граничное условие (1) с учетом членов более высоких порядков в пред- ставлении поверхностного импеданса. Такой шаг был сделан в работе [18], где было сформулирова- но обобщенное импедансное приближение в виде: ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 1, 2014 61 Использование концепции поверхностного импеданса в задачах электродинамики (75 лет спустя) 3 21, 2 E H n nτ τ⎡ ⎤+ ζ + ζ ×⎣ ⎦ G G G 2 1 2 1 1 (2 1)!! ( ) 0. 2 ( 1)! s ss s s N n N H s ∞ + τ = ⎛ ⎞− × + ζ =⎜ ⎟ +⎝ ⎠∑ G (5) Здесь серия матриц ( 2 1)mN m s= + определена выражением 0 1 , 0m N m = а 0n k k= – безразмерный параметр рефракции, где k и 0k – волновые числа в среде импедансной области и внешнего пространства соответственно. Уравнение (5) для линейного слагаемого совпа- дает с граничным условием (1), но имеет качест- венно иной характер: в матричной связи между тангенциальными компонентами векторов Eτ G и Hτ G в явном виде появляется фактор рефракции n, который в задаче отражения оказывается одно- значно связанным с углом падения волны. Таким образом, приближенное условие Леон- товича (1), справедливое при малом нормирован- ном поверхностном импедансе ,ζ обобщено в виде (5) для случая произвольных значений ,ζ что позволяет существенно расширить диапазон применимости импедансного подхода. Найденное точное граничное условие (5) разложено в ряд по нечетным степеням параметра .ζ При этом условие Леонтовича, линейное по ,ζ отличается от точного в главном порядке лишь членами 3~ .ζ То есть при описании волновых полей в прибли- жении условия (1) корректными оказываются не только линейные члены, но и члены 2~ .ζ Тем самым точность условия (1) оказывается выше, чем можно было полагать ранее на основании результатов работы [2]. 3. Ïîâåðõíîñòíûå èìïåäàíñû ìåòàëëîäèýëåêòðè÷åñêèõ ñòðóêòóð Ключевым этапом применения импедансного гра- ничного условия (1) является задача определе- ния значения поверхностного импеданса для кон- кретной среды или пространственной структуры. В этом разделе последовательно рассмотрим металлодиэлектрические структуры, для кото- рых в настоящее время установлены теоретичес- кие оценки значений стороннего поверхностного импеданса. Но предварительно рассмотрим на- глядный пример – задачу падения плоской элек- тромагнитной волны на плоскую границу разде- ла двух сред [8, 11, 17] – который отображает общую методику получения формул для поверх- ностного импеданса. Пусть плоскость ( , , 0)x y z = в прямоугольной системе координат является границей раздела двух сред с параметрами 1 1 1( , , )ε μ σ и 2 2 2( , , )ε μ σ соответственно, причем проводимость второй среды 2 1.σ  Пусть на границу раздела из пер- вой области падает плоская электромагнитная волна, электрический вектор которой направлен вдоль оси Ox. Введем в средах “приведенные” электромагнитные поля следующим образом: 1 1 1E E′= ε G G и 1 1 1,H H= μ G G 2 2 2E E′= ε G G и 2 2 2 ,H H= μ G G где { }1 1,E HG G и { }2 2,E HG G – истинные поля, величи- ны 1 1 1i′ε = ε + σ ω и 2 2 2i′ε = ε + σ ω – комплекс- ные диэлектрические проницаемости сред, а ω – круговая частота. Здесь периодическая зави- симость полей от времени t сохранена, как и в [8], в виде .i te− ω Падающую под углом 1θ (отсчитываемым от нормали к границе раздела) плоскую вол- ну можно представить в виде: ( )1 1, 0, 0 ,E E=G  где 1 1 1( sin cos ) 1 0 . ik y zE E e θ − θ= Легко проверить, что в слу- чае плоской волны 1 1 1 1 1 1 1 1 rot , ,H E k E ik k ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥⎣ ⎦ G GGG  так что 1 1 1(0, sin , cos ),k = θ − θ G 1 1 1 ,k ′= ω ε μ 1 1 .E H= G G  Во второй среде возбуждается плоская волна той же поляризации, а плотность поверхностного тока равна нулю. Тогда ( )2 2 , 0, 0E E=G  и 2 2 2 2 1 , ,H k E k ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ G GG  2 2 2 2 2 2 2 2где (0, sin , cos ), , .k k E H′= θ − θ = ω ε μ = G GG   Касательные составляющие электромагнитно- го поля во второй среде будут соответственно равны: 2 2 2xE E Eτ = =   и 2 2 2 2cos ,yH H Hτ = = θ   где 62 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 1, 2014 С. Л. Бердник и др. 2θ – угол распространения волны в этой среде. Отсюда сразу можно определить отношение ка- сательных составляющих электромагнитного поля во второй среде как 2 2 2 2 2 2 1 . cos cos x y E E H H = = θ θ     (6) Для определения 2cosθ используем закон Снел- лиуса: 1 2 2 2 1 1 sin , sin n ′θ ε μ = = ′θ ε μ где n – показатель пре- ломления при переходе из первой среды во вто- рую. Так как 2 1,σ  то 2 1′ε  и 1,n поэтому 2 2 2 2 12 1 cos 1 sin 1 sin . n θ = − θ = − θ (7) Как и в случае 1 0,θ ≈ так и в общем слу- чае выполнения соотношения 1sin 1 n θ  в (7) получаем 2cos 1θ ≈ и переходим к классическо- му условию Леонтовича. То есть согласно (6) 2 2 1,x yE H ≈  и, возвращаясь к истинным полям, находим, что 2 2 2 2 .x y E H μ = ′ε   Далее, используя непрерывность касательных составляющих электрического и магнитного поля при условии отсутствия поверхностных токов и учитывая граничное условие (1) для полей толь- ко в первой среде, 1 1 ,x yE H= ζ (8) можно получить формулу для расчета поверхнос- тного импеданса второй среды: 2 2 .′ζ = μ ε (9) Следует заметить, что поскольку величина ζ оп- ределяется квадратным корнем из комплексной величины, здесь следует выбирать ветвь корня, для которой мнимая часть Im 0.ζ < Такой выбор соответствует тому, что 2Im 0,′ε > что обеспе- чивает затухание волн, распространяющихся во второй среде. Если рассмотреть случай другой поляризации падающей волны, то получим соот- ношение: 1 1 ,y xE H= −ζ которое при необходимости дополнительно может быть использовано для определения поверхност- ного импеданса (или компонент его тензора). Полагая в выражении (7) угол 1 2,θ ≈ π полу- чаем для произвольного значения n: 2cosθ = 2 12 2 1 1 1 sin 1 . n n − θ = − Используя далее этот результат в (6), нетрудно определить значение поверхностного импеданса для режима “скользя- щих” волн. Полагая в (7) угол 21 arctg( )nθ = и действуя аналогичным образом, можно опреде- лить импеданс для волны, падающей под углом Брюстера. Далее в разделе будут представлены импедансы структур, найденные при условии нормального падения волны возбуждения на плос- кую границу раздела сред из внешнего свободно- го полупространства. Заметим также, что фор- мула (9) может быть использована для опреде- ления эффективного значения импеданса, если предварительно были найдены эффективные ма- териальные параметры сложной среды, запол- няющей вторую область. 3.1. Ðåàëüíûå ìåòàëëû Для металлов при наличии переменных электро- магнитных полей характерна малость расстояния, на которое поле проникает в металл, по сравне- нию с λ – длиной волны в свободном простран- стве. В ВЧ и СВЧ диапазонах для сверхпровод- ников и нормальных металлов оно составляет око- ло 210 10− ÷ мкм. Малая глубина проникновения означает, что изменение компонент электромаг- нитного поля внутри металла в направлении нор- мали к поверхности велико по сравнению с его изменением в тангенциальных направлениях, по- этому значения производных компонент электри- ческого и магнитного полей по нормали к поверх- ности намного больше значений их тангенциаль- ных производных. Глубину проникновения поля в металл d можно определить с помощью выра- жения [19]: 2( 2 ) ,d f= λ π σ (10) ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 1, 2014 63 Использование концепции поверхностного импеданса в задачах электродинамики (75 лет спустя) где f – частота в герцах. Так как явление концентрации электромагнит- ного поля вблизи поверхности тела называется скин-эффектом, то можно утверждать, что импе- дансные граничные условия (1) имеют место при сильном скин-эффекте, когда толщина скин-слоя d мала (как указывалось выше) по сравнению со значениями всех величин, имеющих размерность длины и характеризующих электродинамическую структуру. Прежде всего, (2 )d λ π и ,d R где R – расстояние от рассматриваемой точки импедансной поверхности до источника. Толщи- на скин-слоя также должна быть мала как по сравнению с размерами тела во всех направле- ниях, ,d l так и по сравнению с радиусами кривизны его поверхности, .d D≤ В общем случае для временной зависимости полей i te ω вводится комплексная глубина проник- новения поля в металл [7, 20]: 1 1 2 1 0 0 1 ( )d , z d H z z i H ∞ τ τ = = = δ − δ∫ где Oz – ось, направленная внутрь металла по нор- мали к его поверхности. Величины 1δ и 2δ назы- вают резистивной и индуктивной глубиной скин- слоя. В этом случае поверхностный импеданс 0 2 0 1.R iX iζ = + = ωμ δ + ωμ δ (11) В выражении (11) 2 fω = π – угловая частота, 0μ – магнитная проницаемость вакуума, R – по- верхностное сопротивление, а X – поверхност- ный реактанс. Проанализируем случай, когда металл при ком- натных температурах помещен в переменное электромагнитное поле. Формирование тока в окрестности какой-либо точки внутри металла здесь будет обусловлено, во-первых, тем, что электроны ускоряются под действием электри- ческого поля ,EG и, во-вторых, тем, что в резуль- тате столкновений электронов с решеткой их путь между двумя последовательными соударениями ограничен длиной свободного пробега l. При ста- новлении тока должны учитываться поля, сущест- вующие на длине l. Так как характерной особен- ностью всех металлов при комнатных темпера- турах является то, что длина свободного пробега l электронов намного меньше глубины скин-слоя, то в процессе становления тока в любой точке поле EG можно считать постоянным. Плотность тока jG в этом случае будет определяться толь- ко величиной поля в рассматриваемой точке. Заметим, что при перечисленных условиях скин- эффект называют классическим скин-эффектом. Для нахождения локальной связи между величи- нами jG и E G в этом случае применяют простую модель свободных электронов и получают [20] 2 (1 ),j E i= σ + ωτ GG (12) где Ф ,l vτ = Фv – скорость Ферми. При выполнении условия 1,ωτ когда эффек- тами релаксации можно пренебречь, формула (12) переходит в традиционный закон Ома, 2 ,j E= σ GG и для изотропного однородного металла определя- ются соотношения для классического поверхно- стного импеданса клζ и классической глубины проникновения клδ [21]: кл 0 2(1 ) 2 ,iζ = + ωμ σ (13) кл 0 2 12 ( ) 2 ,δ = ωμ σ = δ (14) из которых видно, что существенным признаком классического скин-эффекта является равенство поверхностного сопротивления и реактанса клR = кл 0 2 .X = ωμ σ Если длина свободного пробега электронов l сравнима или больше глубины проникновения, то формирование тока в окрестности какой-либо точки металла будет определяться процессами столкновения в области, где электрическое поле заметно отличается от поля в рассматриваемой точке. Плотность тока jG в этом случае будет зависеть от полей в окрестности этой точки с радиусом l. Ситуация, при которой клl ≈ δ и даже кл ,l δ оказывается типичной для чистых ме- таллов при низких температурах и определяет аномальный скин-эффект. Действительно, при понижении температуры средняя длина свобод- ного пробега растет пропорционально 2 ,σ а клδ уменьшается пропорционально 1 22 .−σ Поэтому с возрастанием 2σ отношение 3 2кл 2~l δ σ может изменяться от значений, намного меньших еди- ницы, до значений, намного ее превосходящих. Например, для чистой меди 2( ~ 5 10l −⋅ мкм) при температуре 300 K на частоте 1010 Гц величина 2 кл 3 10 .l −δ = ⋅ При гелиевых температурах зна- чение 2σ для чистой меди может увеличиться 64 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 1, 2014 С. Л. Бердник и др. в 510 раз [22], при этом отношение клl δ может достигать значений около 610 . Разумеется, что при таких длинах свободных пробегов теория классического скин-эффекта уже не применима и требуется более общее рассмотрение. Строгая теория аномального скин-эффекта на основе модели свободных электронов была развита Рейтером и Зондхеймером в работе [23]. В ней полагается, что при отсутствии внешнего возмущения электроны в какой-либо точке ме- талла распределены в пространстве импульсов внутри сферы радиуса Ф ,mv где m – масса элек- трона. Если в результате каких-либо причин сфе- ра будет деформироваться, то это приведет к наличию суммарного импульса электронов, что и определит ток в металле. При аномальном скин- эффекте длина свободного пробега l сравнима с глубиной проникновения поля или больше ее, поэтому на ток в точке будут влиять поля других областей, где находились электроны до попада- ния в рассматриваемое место. Для учета этого влияния внутри металла вводится эффективное поле эф ,E G которое будет фигурировать в выраже- нии для плотности тока, подобном (12). По сути это близко к учету в задачах дифракции вторич- ных полей, обусловленных наведенными токами на рассеивателе. Однако возникает вопрос: как корректно рас- считать jG в какой-либо точке, если она лежит от границы (решетки) металла на расстоянии, меньшем l ? Здесь оказывается необходимым до- полнить задачу граничными условиями отраже- ния электронов на поверхности металла. Одним из предположений является то, что при столкно- вении с границей раздела электроны полностью теряют информацию о поле, в котором они нахо- дились до столкновения, и отражаются равно- вероятно во всех направлениях. Такое отражение определяют как диффузное. При этом в отсут- ствие внешних воздействий вне металла поле 0.E = G Другим предположением является то, что при соударении электрона с поверхностью отраже- ние может быть зеркальным. В этом случае элек- трон, двигающийся к плоской границе и приходя- щий в результате столкновения с границей в точку наблюдения, можно рассматривать как двигающийся из свободного пространства в зер- кально симметричном относительно плоскости раздела поле. То есть поле вне металлической поверхности полагается зеркально симметрич- ным полю внутри металла. Рассматривая проме- жуточный случай по отношению к указанным режимам, когда часть электронов p отражается зеркально, а оставшаяся часть (1 )p− диффузно, вводят коэффициент зеркальности p, который равен нулю для диффузного отражения или еди- нице для зеркального. В результате достаточно сложного решения общей задачи [20] получают итоговые выраже- ния для импедансов в режиме зеркального отра- жения электронов зζ и в диффузном режиме д :ζ 0 з 2 0 2 d , ( ) i l t t i k t ∞ ωμζ = π + α∫ (15) ( ) 0 д 2 0 , ln 1 ( ) d i l i k t t t ∞ ωμ πζ = + α∫ (16) где 2 3 2 ( ) (1 )arctgk t t t t t ⎡ ⎤= + −⎣ ⎦ и (17) 22 3 0 2 2 кл 3 3 . 4 2 l l⎛ ⎞⎛ ⎞ α = μ ω σ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ σ δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Хотя выражения (15) и (16) кажутся различны- ми, при вычислении их как функций 2σ полу- чаются похожие зависимости. Для малых значе- ний α (при малой длине свободного пробега элек- тронов) как в случае диффузного, так и зеркально- го отражения 1 22~ ,−ζ σ ,R X= что соответствует классическому скин-эффекту (13). При больших значениях α (в крайне аномальном пределе) ве- личины з(д)ζ стремятся к пределам: 1 3 1 3 2 3 0 з(д) з(д) 2 3 (1 3), 4 2 l k i ∞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ωμ⎛ ⎞ζ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟π σ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ (18) где коэффициенты з 8 9,k = д 1.k = Как видно, предельные значения ∞ ζ для диффузного и зер- кального отражений отличаются только коэффи- циентами, а между поверхностным сопротивле- нием и реактансом существует связь 3 .X R ∞ ∞ = (19) ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 1, 2014 65 Использование концепции поверхностного импеданса в задачах электродинамики (75 лет спустя) Разумеется, точные значения импедансов (15) и (16) при аномальном скин-эффекте можно по- лучить только путем численного интегрирования. Однако в работе [24] Чамберсом были получены простые интерполяционные формулы, которые позволяют быстро рассчитать величины з(д)R и з(д)X для промежуточной области между клас- сическим и аномальным пределами: (1 ),GRR R F − ∞ = + α (1 ),GXX X F −∞= + α (20) где 1.157,RF = 0.473XF = и 0.2757G = при 0;p = 1.376,RF = 0.416XF = и 0.3592G = при 1.p = Отметим, что значения величин R и X, вычис- ленные по интерполяционным формулам (20), совпадают со значениями, найденными числен- ными методами из выражений (15) и (16) с точ- ностью до 0.1 % для значений 1.2α > [20]. Следует указать, что хотя при аномальном скин-эффекте поверхностный импеданс соглас- но (18) слабо зависит от значения параметра p, в случае произвольного p Хартман и Люттинд- жер в [25] получили решение для крайне аномаль- ной области в виде: ( )д2 1 cos (2 3)arccos( ) , 1 p p p ∞ ∞ ζ ⎡ − ⎤⎣ ⎦ζ = − которое может быть использовано при высокоточ- ных расчетах. Отдельный фундаментальный интерес для реальных металлов представляет собой поверх- ностный импеданс сверхпроводников. Известно, что электрическое сопротивление многих чистых металлов, сплавов и соединений в случае пос- тоянного тока резко исчезает при некоторой кри- тической температуре к .T Значения кT всех из- вестных сверхпроводников находятся в области низких температур. Наиболее высокая критичес- кая температура для чистых металлов – у нио- бия (9.3 K), а для соединений – 3Nb Ge (22.3 K). Идеальная проводимость – полное отсутствие сопротивления постоянному току – считалась единственным фундаментальным свойством сверхпроводников, и при рассмотрении их электро- динамических свойств проводимость на постоян- ном токе σ устремлялась к бесконечности. Мейс- нер и Оксенфельд [26] обнаружили, что магнитный поток выталкивается из проводника при переходе его в сверхпроводящее состояние. Этот эффект не следует непосредственно из идеальной прово- димости и представляет другое важное фун- даментальное свойство сверхпроводников. Надо отметить также, что поверхностное сопротивле- ние сверхпроводников в переменном поле, в от- личие от сопротивления при постоянном токе, не равно нулю, так как в этом случае могут ин- дуцироваться переходы между соседними квази- частичными возбуждениями, которые имеются в сверхпроводнике при температурах 0.T > Феноменологические теории сверхпроводимо- сти (обзор которых представлен, например, в [20]) используются при описании ряда свойств сверх- проводников. Однако во многих случаях они дают приближенное описание, и часто с их помощью невозможно описать, даже качественно, особен- ности поведения того или иного параметра. В свя- зи с этим большое значение имеет создание Бар- диным, Купером, Шриффером микроскопической теории сверхпроводимости – теории БКШ [27]. В этой теории используется установленный Купе- ром факт [28], что сколь угодно слабое притяжение между двумя электронами может привести к обра- зованию связанного состояния, энергия которого меньше суммы энергий отдельных электронов. Физически притяжение связано с поляриза- цией решетки ионов одним из электронов, что приводит к притяжению второго электрона. Если притяжение достаточно, чтобы превысить оттал- кивающее кулоновское взаимодействие, то это приводит к образованию связанных пар электро- нов – куперовских пар. Пары электронов не су- ществуют независимо друг от друга, а образуют конденсат, обеспечивающий единое квантовое состояние сверхпроводника. Если куперовские пары испытывают воздействие внешних сил (на- пример, электрического поля), то, ускоряясь, они приобретают импульс, одинаковый для всех пар, и создают незатухающий электрический ток. Приобретая импульс, пары увеличивают свою кинетическую энергию. Однако увеличение энер- гии без ее отдачи кристаллической решетке не может идти беспредельно, и при определенной конечной энергии (энергии связи) происходит раз- рушение куперовской пары. Электродинамика сверхпроводников, осно- ванная на микроскопической теории [27], поз- воляет получить для температурного интервала к0 T T< < выражения для импедансов в режиме 66 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 1, 2014 С. Л. Бердник и др. зеркального отражения электронов с.зζ и в диф- фузном режиме с.д :ζ 0 с.з 2 00 2 d , ( , ) i k k Q k ∞ ωμζ = π + μ ω∫  (21) ( ) 0 с.д 2 0 0 . ln 1 ( , ) d i Q k k t ∞ ωμ πζ = + μ ω∫  (22) При этом основной задачей является определе- ние интегрального ядра ( , ).Q k ω Наиболее стро- гое теоретическое исследование ядра ( , )Q k ω провел Халбриттер на основе функционального формализма функций Грина, выделяя соотноше- ния для cR и cX в виде реальной и мнимой час- тей выражений (21) и (22). Полученные им фор- мулы в [29] довольно громоздки и не приводятся здесь в явном виде. Однако следует отметить, что интегральное ядро было представлено сум- мой трех частей, из которых первые две части действительны и лишь третья имеет как действи- тельную, так и мнимую части и, следовательно, определяет потери. Заметим также, что посколь- ку в большинстве внешних задач реальными час- тями импедансов c.зζ и c.дζ можно пренебречь (в связи с их малостью), для расчетов могут быть использованы более удобные формулы реактанса c ,X полученные в [20]. На основе обобщения теоретических данных о поверхностном импедансе сверхпроводников в монографии [30] был исследован ряд физичес- ких моделей различных сверхпроводящих струк- тур, в том числе “сверхпроводник–подложка” и “сверхпроводник–подложка–сверхпроводник”, для которых были получены формулы сторонних импедансов. 3.2. Øåðîõîâàòûå è ãîôðèðîâàííûå ìåòàëëè÷åñêèå ýêðàíû В пункте 2.1 был рассмотрен поверхностный им- педанс реальных металлов и сверхпроводников с абсолютно гладкими поверхностями, на которых предполагалось выполнение граничных условий Леонтовича (1). Однако на поверхностях твердых материальных тел обязательно присутствуют шероховатости, т. е. несовершенства, связанные с отклонением формы поверхности от плоскости. Неровности могут быть обусловлены как корпус- кулярным строением материи, так и дефектами, возникающими в результате технологии изготовле- ния поверхностей, и имеют различный характер. При исследовании влияния шероховатости на поверхностный импеданс использовались различ- ные подходы. В ряде работ (например, [31]) уве- личение поверхностного сопротивления и реактан- са связывалось с пропорциональным увеличением фактической площади шероховатой поверхности по сравнению с площадью плоской. Однако такая методика справедлива только при наличии поло- гих неровностей, характерные размеры которых значительно превосходят глубину проникновения. Наиболее общим методом рассмотрения ше- роховатых поверхностей является статистичес- кий (например, [32]), при котором реальная по- верхность рассматривается как реализация не- которой случайной функции или случайной (ста- тистической) поверхности. Малые отклонения формы границы от плоскости описываются набо- ром случайных функций ( ),h ρG значения которых дают отклонение границы от плоскости 0z = в точке ρ (ρG – двумерный вектор в плоскости 0).z = Такой метод часто применяется при опре- делении рассеивающих свойств шероховатых поверхностей, когда на них падает электромаг- нитное излучение. Решение дифракционной зада- чи здесь основывается на том, что математи- ческое описание среднего поля над статистичес- ки неровной поверхностью эквивалентно описа- нию поля над детерминированной поверхностью с эффективными граничными условиями, кото- рые определяются статистическими характери- стиками случайных неровностей. В этом случае вводится эффективный поверхностный импеданс рассеяния [32]. Следует подчеркнуть, что в обыч- ном понимании импеданс является характерис- тикой металлических поверхностей, определяе- мой реальными потерями и запасаемой энергией в металле [7, 20], в то время как импеданс рас- сеяния описывает рассеивающие свойства повер- хности и характеризует убыль энергии когерент- ной составляющей поля из-за преобразования ее в рассеянную составляющую. В этом случае процессы рассеяния определяются дифракцион- ными эффектами и зависят от соотношения меж- ду длиной волны и размерами неровностей. Этот тип влияния шероховатостей может быть су- ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 1, 2014 67 Использование концепции поверхностного импеданса в задачах электродинамики (75 лет спустя) ществен, например, в направляющих системах при достаточно большой их длине, когда вследствие рассеяния происходит преобразование энергии основной моды в неосновные. Разумеется, что при произвольной форме ше- роховатостей импедансные граничные условия в каждой точке поверхности не выполняют- ся и тоже можно говорить только о некотором эф эф эфR iXζ = + эффективном поверхностном импедансе такой поверхности. Обычно пола- гают, что характерные размеры неровностей (средняя высота h, средний горизонтальный раз- мер d) намного меньше длины волны в свобод- ном пространстве и намного меньше тех расстоя- ний, на которых изменяется поле падающей волны. Иначе говоря, предполагается справедливость им- педансных граничных условий на воображаемой плоской поверхности, которая соответствует ше- роховатой и определяется формой рассматри- ваемого объекта в данном месте. В частном слу- чае, когда шероховатость изотропна и средние раз- меры и радиусы кривизны ее элементов намного больше глубины проникновения, значение импедан- са можно определить в следующем виде [20]: эф ,R kR= эф ,X kX= где 22 0 0 1 d , S k H s S H τ Δτ = Δ ∫ 0SΔ – участок плос- кой поверхности, соответствующий участку ше- роховатой поверхности .SΔ Параметр k назван коэффициентом шероховатости [33]. Он показы- вает, насколько увеличиваются поверхностное сопротивление и реактанс шероховатой поверхно- сти по отношению к плоской. Общая методика определения параметра k приведена в моногра- фии [20], где получены формулы в явном виде для некоторых типов шероховатых поверхностей. В фундаментальной монографии [32] импедан- сный подход развит для практически важных задач распространения волн различных частот- ных диапазонов над пересеченной местностью или над взволнованной поверхностью моря. При этом рассеяние волн на малых пологих неровно- стях исследовано в приближении модифицирован- ной теории возмущений, а на крупных неровнос- тях – в приближении физической оптики с учетом затенений. С помощью комбинации этих методов рассмотрено рассеяние волн на поверхностях с широким спектром масштабов случайных неров- ностей. Тем не менее поскольку эти приложения выходят за рамки тематики обзора, конкретные результаты этой работы по определению эффек- тивных импедансов для различных моделей ста- тистически неровных поверхностей и их дальней- шее применение в работах других авторов здесь анализироваться не будут. Для случая прямоугольных периодически рас- положенных выемок (гофры) в проводящем экране эффективный поверхностный импеданс поверхности может быть определен иным спо- собом, основывающимся на электродинамичес- ких методах анализа дифракционных решеток. Здесь при требовании мелкости гофры вводят эк- вивалентные граничные условия в следующем виде [34]: эф ,z xE H= ζ 0xE = для поперечных от- носительно оси Oz канавок и 0,zE = эфx zE H= ζ для продольных относительно оси Oz канавок. При этом ось Oy полагалась направленной вер- тикально к гофрированной поверхности. Тогда, со- гласно [34] эф 0 (2 ) tg ,i g L kcζ = ζ где геометрические параметры гофры: g – ши- рина канавки, c – высота канавки, а L – период гофры. Следует заметить, что формулы для импедан- сов реальных металлов и гофрированных по- верхностей нередко используются при моделиро- вании волноводных устройств, где введение в со- став элементов управления СВЧ мощностью им- педансных боковых стенок позволяет наряду с улучшением эксплуатационных характеристик расширить и функциональные возможности уст- ройств (например, [7, 19, 35–38]). 3.3. Ñëîèñòûå äèýëåêòðè÷åñêèå ñòðóêòóðû Из общего числа возможных слоистых магнито- диэлектрических структур, в которых материаль- ные параметры среды являются кусочно-постоян- ными функциями одной координаты, выделяют диэлектрические, поскольку в подавляющем боль- шинстве приложений наполнителями слоев явля- ются немагнитные материалы. Как указывалось ранее, для анализа распространения электромаг- нитных волн вне таких структур (например, над подстилающей поверхностью) может быть вве- 68 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 1, 2014 С. Л. Бердник и др. ден эффективный поверхностный импеданс, подоб- но (6). Изначально такая постановка задачи была вызвана интересом к моделированию распрост- ранения радиоволн над реальными слоистыми грунтами. Поэтому в ряде случаев оказывается методически целесообразным разделение слоис- тых диэлектриков на естественные (природные) и искусственные (изготавливаемые) структуры. Заметим, что для естественных структур в пос- ледние десятилетия интенсивно развивается ме- тод радиоимпедансного зондирования, с помощью которого информацию о строении и физических свойствах неоднородных структур получают по- средством интерпретационных моделей для час- тотных зависимостей поверхностного импедан- са, взятых из экспериментальных измерений. Это касается как исследований строения приповерх- ностного слоя земной коры (например, [39]), так и биоимпедансного анализа состава тела челове- ка (например, [40]). Что касается искусственных структур, здесь рассмотрим наиболее интересные с точки зре- ния практических приложений многослойные плос- копараллельные системы. Многослойные интер- ференционные структуры (МИС) представляют собой набор слоев различных материалов (диэ- лектриков) с малыми (порядка и менее длины волны излучения) толщинами. В основе их дей- ствия лежат интерференционные эффекты, про- исходящие внутри системы при многократном переотражении волны на границах раздела слоев с различными волновыми параметрами. Материал отдельных слоев, их число, порядок следования и толщины выбираются в зависимости от того, какую спектральную характеристику должна иметь система в целом. Наибольшее распространение МИС получили в оптике. Однако в последнее время они все чаще находят применение в микроволновой радиофи- зике для создания согласующих устройств, филь- тров, поглотителей волновой энергии, режектор- ных (подавляющих) и других элементов вол- новодных линий. Важным качеством МИС как волноводных элементов является то, что на плос- кой границе раздела сред с различными диэлек- трическими проницаемостями не происходит пре- образования моды волны. Это особенно важно в миллиметровом диапазоне длин волн, так как с увеличением частоты и уменьшением разме- ров волновода возрастают дифракционные поте- ри, связанные с искажением фронта волны на нео- днородностях волноводного тракта и преобразо- ванием в быстрозатухающие высшие моды – источник потерь энергии основной волны. Известно, что, обеспечивая условия для изме- нения фазы волны на границах раздела диэлект- риков, МИС являются эффективными фазовра- щающими устройствами: фазы отраженной от системы диэлектриков и прошедшей волн легко регулируются числом слоев и изменением их взаимного расположения. Поэтому слоистые ди- электрические структуры могут применяться в качестве зеркал (отражателей), полосовых и од- ночастотных фильтров, согласователей, поглоща- ющих материалов, делителей мощности, разно- образных резонансных элементов с высокой доб- ротностью. Следует отметить, что для милли- метрового и субмиллиметрового диапазонов из- готовление обычных диафрагменно-штыревых импеданс-трансформаторов весьма затрудни- тельно. В то же время изготовление слоистых диэлектриков отличается простотой и высокой точностью совпадения реальных характеристик с расчетными. Когда область, которую занимает слоистая струк- тура, совпадает с полупространством 0,z−∞ < < ( , ),x y−∞ < < +∞ в декартовой системе коорди- нат, а свойства самой структуры могут изменять- ся только вдоль оси z (и не зависят от координат x и y), электромагнитное поле с зависимостью общего вида от радиус-вектора ( , , )R x y zG удобно рассматривать как дискретную или континуальную суперпозицию пространственных волн вида [17]: ( ) ( , ) ,ikrE R E k z e= GGGG G G ( ) ( , ) ,ikrH R H k z e= GGGG G G где ( , , 0)x yk k k= G – спектральный параметр, ( , )E k z GG и ( , )H k zGG – векторные амплитуды при выборе временной зависимости ,i te− ω а радиус- вектор ( , , 0).r x y=G Это подобно представлению поля рядом неоднородных плоских волн. В этом случае импедансное граничное условие (1) пере- ходит в соотношение 0 ˆ( , ) ( ) , ( , ) ,E k z k z H k zτ τ⎡ ⎤= ζ ⎣ ⎦ G G GG GG (23) которое устанавливает связь между касательны- ми компонентами векторных амплитуд на плос- кости 0.z = Точнее, в (23) фигурируют предель- ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 1, 2014 69 Использование концепции поверхностного импеданса в задачах электродинамики (75 лет спустя) ные значения этих компонент при 0z → − или 0,z → + которые в силу граничного условия не- прерывности касательных составляющих по- ля совпадают. Через 0zG здесь обозначен орт оси Oz, которая для определенности считается направленной вертикально вверх, а нелокаль- ный импеданс ˆ ( )kζ G представляет собой диадную функцию спектрального параметра ,kG которая в полной мере описывает взаимодействие электро- магнитного поля со средой в нижнем полупрост- ранстве. В литературе принято определение ˆ ( )kζ G как частотно зависимого импеданса. В частном случае изотропной слоистой среды тензор ˆ ( )kζ G выражается через две скалярные величины, которые имеют смысл скалярного им- педанса соответственно для волн вертикальной и горизонтальной поляризации. Эти скалярные им- педансы для кусочно-однородной среды оказы- вается возможным найти аналитически с помо- щью рекуррентных формул [17]. Здесь в каче- стве примера представим результат решения такой задачи для слоя толщиной dh магнитодиэ- лектрика с материальными параметрами ,ε ,μ расположенного на идеально проводящем экра- не, при возбуждении слоя падающей по нормали монохроматической плоской волной ( ) :i te ω ( )tg .di khμζ = εμ ε (24) Эта формула использовалась для расчета значе- ний импеданса в работах [41, 42]. Для произвольно анизотропной слоистой среды диада ˆ ( )kζ G будет определяться четверкой ска- лярных величин. В общем случае ее можно пост- роить только численно путем решения матрично- го уравнения Риккати [43]. Однако в случае ани- зотропной среды в виде совокупности однородных плоских слоев одноосных магнитодиэлектриков решение для импеданса ˆ ( )kζ G удается получить аналитически [44]. При этом значения проницае- мостей и ориентация оптической оси в каждом слое, а также толщины слоев и общее их коли- чество могут быть произвольными. Метод рабо- ты [44] состоит в последовательном вычислении для каждого слоя, начиная с самого нижнего, диады нелокального импеданса верхней границы слоя по известной диаде импеданса его нижней границы. Импедансы, полученные подобным спо- собом для некоторых частных случаев слоистых диэлектрических структур, использовались, на- пример, при моделировании СВЧ устройств в ра- ботах [43, 45]. Следует заметить, что применение постоянно- го поверхностного импеданса типа (24) обычно ограничивают условием, связанным с обеспече- нием в слоистой диэлектрической структуре од- номодового режима распространения волн (в том числе и поверхностных). Для более общих ус- ловий, разумеется, необходимо применять час- тотно зависимый импеданс типа (23). Однако в некоторых случаях, даже при многомодовом режиме слоистой структуры, оказывается кор- ректным использование постоянного поверхност- ного импеданса. Так, в работе [46] показано, что для слоя диэлектрика на металлическом экране при его возбуждении вертикально ориентирован- ным электрическим диполем при параметрах слоя, которые позволяют распространяться не- скольким типам волн, амплитуды отраженного поля могут быть корректно определены с помо- щью постоянного импеданса (24). Объясняется это тем, что из возможных для распространения внутри слоя двух или трех типов волн в рассмот- ренных случаях будет эффективно возбуждаться только высший из них, обеспечивая, таким обра- зом, режим условной одномодовости. Особо укажем на возможность рассмотре- ния в качестве одного из слоев диэлектрической структуры – плазменного слоя, планарного объе- ма с холодными ионизированными нейтраль- ными газами и плазмами. Известно [47], что для таких веществ могут быть введены эквивалент- ные диэлектрическая проницаемость эфε и прово- димость эф ,σ определяемые соотношениями: эфε = 2 2 2 0 1 ( )p⎡ ⎤ε − ω ω + ν⎣ ⎦ и 2 2 2эф 0 ( ),pσ = ε νω ω + ν где pω – угловая плазменная частота ( 2pω = )2 0 .e en e mε В указанных соотношениях 0ε – диэ- лектрическая проницаемость вакуума, e – абсо- лютная величина заряда электрона, em – масса электрона, en – концентрация электронов и ν – частота электронно-нейтральных столкновений. Характеристика слоистых диэлектрических структур будет неполной, если мы не укажем на возможности использования в математическом моделировании диэлектрических решеток наря- ду с известными строгими методами [48–50], развитыми для периодических структур, и при- 70 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 1, 2014 С. Л. Бердник и др. ближенного импедансного подхода. В качестве примера приведем работы [51, 52], в которых при помощи импедансных граничных условий были исследованы характеристики как плоских, так и цилиндрических решеток. Здесь будет умест- ным подчеркнуть, что, зная точное решение, при необходимости всегда можно перейти к импеданс- ному приближению, но не для всяких параметров периодических структур импедансное приближе- ние будет описывать особенности точного реше- ния электродинамической задачи. Особое значение для антенных приложений имеют тонкие (однослойные) структуры пленоч- ного типа, которые требуют отдельного рассмот- рения. 3.4. Òîíêèå äèýëåêòðè÷åñêèå ÷àñòîòíî- ñåëåêòèâíûå è êèðàëüíûå ñëîè Плоские металлодиэлектрические структуры (FSS) в настоящее время активно используются при создании СВЧ схем и антенн, высокодобротных фильтров и резонаторов, волноведущих структур и т. д. Электродинамическую теорию для частот- но-селективных поверхностей на основе метал- лических экранов в настоящее время уже можно считать сформировавшейся. Так, например, в мо- нографиях [53, 54] определены значения эффек- тивных коэффициентов прохождения для целого ряда таких поверхностей, с помощью которых могут быть найдены значения эффективного по- верхностного импеданса. Однако для двоякопе- риодических структур эти исследования продол- жаются. Так, в работе [55] были исследованы частотно-избирательные свойства многоэлемент- ного экрана с волноводными каналами прямоуголь- ного сечения, в работах [56, 57] – резонансные свойства двухмерно-периодического перфориро- ванного экрана с двумя запредельными круглыми отверстиями различного диаметра в периодичес- кой ячейке, в [58] – характеристики дифракцион- ной решетки из металлических лент, периодически перфорированных прямоугольными отверстиями. Отдельно следует выделить исследования так на- зываемых высокоимпедансных поверхностей. Рассмотрим нормальное отражение плоской электромагнитной волны от идеально проводя- щей плоскости, на которой векторы напряженнос- тей электрических полей падающей и отражен- ной волн будут иметь равные, но противополож- ные по знаку значения. Это следует из гранично- го условия (2), выполняемого на металлической плоскости. При этом плоскость, называемая “элек- трической”, имеет значение коэффициента отра- жения, равное –1, а значение поверхностного импеданса 1 1 0,x yE Hζ = = например, на осно- вании (8). “Магнитной” плоскость будет тогда, когда на ней будет обеспечено равенство нулю суммарного тангенциального магнитного поля. В этом случае коэффициент отражения равен 1, а значение поверхностного импеданса становит- ся предельно велико. Поэтому такие поверхнос- ти характеризуются как высокоимпедансные. Оказывается, что свойства “магнитной” поверх- ности (не встречающиеся в природе) можно обес- печить только для искусственных структур в узком диапазоне частот. Такая структура в рабо- те [59] реализована с помощью решетки дипо- лей, расположенных вблизи проводящего экрана. В [60] показана возможность ее реализации у плоских микрополосковых решеток из непрерыв- ных волнообразных лент в окрестности их резо- нансных частот. Заметим, что высокоимпеданс- ные поверхности являются перспективными для использования в антенной технике, поскольку поле точечного источника электрического типа, отражен- ное от “магнитной” плоскости, суммируется с пер- вичным полем, а не гасится, как в случае метал- лической плоскости. Для двоякопериодических диэлектрических структур [61] также возникли новые задачи по исследованию возможностей их применения при разнообразных геометриях ячеек и решетки, материальных параметрах ячеек и металличес- ких включениях. Механизм появления частотной избирательности в диэлектрических частотно- селективных структурах принципиально отли- чается от механизма в обычных металлических частотно-селективных поверхностях. Тонкие металлические экраны, разделенные слоем од- нородного диэлектрика (обычно толщиной порядка четверти длины волны), могут функционировать в качестве фильтров только для основной волны. При этом для редких решеток или на достаточно высоких частотах в диэлектрических пластинах могут возбуждаться высшие моды. Избиратель- ность диэлектрических частотно-селективных поверхностей основывается на поведении выс- ших мод, возбуждаемых в пластине, когда эти моды интерферируют с основной модой. На вы- ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 1, 2014 71 Использование концепции поверхностного импеданса в задачах электродинамики (75 лет спустя) соких частотах характеристики таких структур существенно зависят от угла падения волны. Однако на частотах, значительно меньших, чем частота отсечки, диэлектрическая структура ведет себя как однородный анизотропный мате- риал для основной моды [62]. В этом случае свойства такого искусственного слоя могут быть описаны с помощью тензора эффективной диэ- лектрической проницаемости (а следовательно и в терминах эффективного поверхностного им- педанса). Подобное можно утверждать и для слу- чая рассеяния плоской волны на двухпериодичес- ком гиротропном слое [63]. Среди плоских структур, которые активно ис- следуются в настоящее время, следует выде- лить также тонкие киральные (хиральные) слои – структуры, обладающие свойством киральности или энантиоморфизм. Киральность обозначает свойство объекта не совмещаться со своим ото- бражением в плоском зеркале при каком-либо перемещении и вращении. Среда, обладающая киральными свойствами в СВЧ диапазоне, мо- жет быть только искусственной. Киральные вклю- чения на СВЧ – это искусственные проводящие одно-, двух- или трехмерные микроэлементы зер- кально асимметричной формы, размеры которых значительно меньше длины электромагнитной волны возбуждения [64–69]. Киральная среда обладает пространственной дисперсией, поэтому зеркально асимметричные микроэлементы дол- жны периодически размещаться на расстояниях, соизмеримых с длиной волны. Ориентация гео- метрических осей микроэлементов должна быть хаотической, поэтому на макроскопическом уров- не киральная среда является биизотропной. Если же все киральные микроэлементы ориентирова- ны в одном направлении, то структура становит- ся анизотропной. В качестве киральных элементов могут исполь- зоваться трехмерные (право- и левовинтовые металлические спирали [70, 71], сферические частицы со спиральной проводимостью [72], ра- зомкнутые кольца с выступающими концами [73] и др.) и двумерные микроскопические объекты (полосковые элементы в виде буквы S и ее зер- кального эквивалента [74–76], плоские n-заход- ные спирали, ленты Мебиуса [77] и др.). Модель называется планарной, если в ней киральные эле- менты представляют собой проводящие микро- скопические полоски зеркально асимметричной формы, которые равномерно располагаются на поверхности диэлектрической или ферритовой подложки. С точки зрения технической реализа- ции киральной структуры планарная модель яв- ляется более предпочтительной, однако степень ее киральности меньше, чем у трехмерной кираль- ной структуры. Увеличение киральности структу- ры в целом может быть достигнуто при создании многослойных киральных метаструктур, на грани- цах раздела слоев которых расположены полоско- вые киральные микроэлементы. Электродинами- ческие свойства однослойных решеток на основе киральных полосковых элементов достаточно под- робно исследованы в работах [74–76, 78, 79]. Заметим, что физически-киральные среды СВЧ могут быть описаны с помощью трех мате- риальных параметров. Наряду с относительными диэлектрической ε и магнитной μ проницаемос- тями вводится параметр физической киральности ,χ который входит в материальные уравнения для киральной среды следующим образом: ,D E i H= ε χ G G G∓ ,B H i E= μ ± χG G G (25) где DG и BG – векторы электрической и магнитной индукции. Верхние знаки (“+” или “–”) в соотно- шениях (25) соответствуют физически-киральной среде на основе правых зеркальных форм кираль- ных элементов, нижние знаки – среде на основе левых зеркальных форм (материальные уравне- ния (25) представлены в системе СГС). В работе [69] показано, что физически-киральная среда, являясь гиротропной, может быть описана мате- риальными уравнениями, содержащими тензорные проницаемости εˆ и ˆ :μ ( )ˆ ,D E±= ε G G ( )ˆ ,B H±= μG G ( ) 0 ˆ 0 0 0 E E i i± ε ± χ⎡ ⎤⎢ ⎥ε = χ ε⎢ ⎥⎢ ⎥ε⎣ ⎦ ∓ и (26) ( ) 0 ˆ 0 , 0 0 H H i i± μ χ⎡ ⎤⎢ ⎥μ = ± χ μ⎢ ⎥⎢ ⎥μ⎣ ⎦ ∓ где ,Eχ = χ η ,Hχ = χη .η = μ ε Верхние знаки соответствуют киральной среде на основе спи- ралей с правой закруткой, а нижние знаки – ки- 72 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 1, 2014 С. Л. Бердник и др. ральной среде на основе левовинтовых спиралей. Параметр киральности χ входит в недиагональ- ные элементы тензоров бигиротропной среды. Ось гиротропии здесь направлена вдоль оси Oz. Определители матриц в (26) равны: ( )ˆDet ±ε = 2 2( )Eε ε − χ и ( )( ) 2 2ˆDet ,H±μ = μ μ − χ т. е. зависят от параметра физической киральности среды. Параметр физической киральности среды в общем случае определяется размерностью, фор- мой микрочастиц и их концентрацией в среде, т. е. учитывает резонансные свойства самого ки- рального элемента. Это приводит к тому, что фи- зически-киральную среду (структуру) необходи- мо создавать для конкретного, достаточно узкого, диапазона падающих волн вблизи резонансной частоты используемого кирального элемента. Это крайне усложняет и теоретическое, и эксперимен- тальное исследование параметра киральности для реализованных на практике сред. Строго говоря, описание волновых процессов в ограниченной ки- ральной среде представляет в настоящее время трудноразрешимую задачу. Как следствие, возни- кает необходимость в разработке приближенных алгоритмов и методик расчета характеристик и параметров ограниченных киральных структур. В настоящей работе не ставится задача анализа отдельных типов геометрически-киральных струк- тур, состоящих из большого колическтва слоев, каждый из которых представляет собой упорядо- ченную киральную композицию из микропластин двух различных материалов. Для тонких по отношению к длине волны физи- чески-киральных слоев используют приближен- ные граничные условия импедансного типа двух классов: двухсторонние (киральный слой располо- жен между двумя произвольными, но не идеаль- но проводящими средами) и односторонние (ки- ральный слой расположен на идеально прово- дящем экране). До недавнего времени были из- вестны только односторонние граничные усло- вия импедансного типа для тонкого кирального слоя с плоской формой границы, расположенного на идеально проводящей плоскости [68]. Однако эти условия не учитывали явление кроссполя- ризации. В работе [69] рассмотрен вывод анало- гичных приближенных граничных условий, уже учитывающих кроссполяризацию поля. В статье [80] представлен наиболее общий алгоритм по- лучения граничных условий импедансного типа (в виде квадратурных формул) для тонких ки- ральных слоев с координатной формой поверхно- сти, описываемой в произвольной системе обоб- щенных ортогональных криволинейных координат. Следует отметить, что параметр киральности, фи- гурирующий в формулах (26) и в формулах, при- веденных в работе [80], для реализованных на практике структур может быть предварительно определен экспериментально [81]. Для этого в патенте [81] предлагается косвенный способ из- мерения параметра киральности плоскопарал- лельного образца искусственной среды с исполь- зованием сканирующего СВЧ излучения (задан- ной длинны волны) при известных значениях от- носительных диэлектрической и магнитной про- ницаемостей этой среды. Параметр киральности вычисляется как отношение угла поворота плос- кости поляризации СВЧ излучения к модулю вол- нового числа этого излучения. 4. Ïîâåðõíîñòíûé èìïåäàíñ ýëåêòðè÷åñêè òîíêèõ âèáðàòîðîâ На практике поверхности излучающих (или рас- сеивающих) вибраторных антенн могут иметь характеристики, подобные характеристикам не- которых рассмотренных выше импедансных по- верхностей. То есть отличаться от идеально про- водящей поверхности, что позволяет характери- зовать вибраторы как импедансные. В настоящее время в радиотехнических и ра- диоэлектронных комплексах различного назначе- ния широко используются линейные импеданс- ные вибраторы как в качестве самостоятельных приемо-передающих структур, так и элементов ан- тенных систем и устройств антенно-фидерного тракта. Их массовое и разнофункциональное при- менение явилось объективной предпосылкой для развития теоретических методов анализа элект- родинамических характеристик систем на основе импедансных вибраторов. Специфика этих мето- дов обусловлена тем, что продольные размеры вибраторов сравнимы с длиной рабочей волны в окружающем пространстве, что исключает воз- можность использования для их анализа асимпто- тических длинноволновых или коротковолновых (квазиоптических) приближений. Для реализации возможностей физически корректного математи- ческого моделирования реальных вибраторных структур без повышения сложности постановки общей электродинамической задачи успешно ис- пользуется импедансная концепция (например, ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 1, 2014 73 Использование концепции поверхностного импеданса в задачах электродинамики (75 лет спустя) монография [82] и работы из ее списка источ- ников). Для определения электродинамических харак- теристик электрически тонких импедансных виб- раторов необходимо иметь предварительные формулы для численной оценки значений их по- верхностного импеданса. С этой целью, следуя работе [82], рассмотрим вспомогательную зада- чу об аксиально-симметричном возбуждении сходящейся цилиндрической волной бесконеч- ного двухслойного цилиндра внешнего радиуса r и внутреннего радиуса .ir Введем цилиндри- ческую систему координат ( , , )zρ ϕ с осью Oz, направленной вдоль оси цилиндра. Тогда, в силу симметрии, электромагнитное поле имеет лишь компоненты zE и ,Hϕ зависящие только от коор- динаты .ρ В области [ , ]ir rρ∈ среда имеет про- ницаемости ,ε ,μ а при irρ ≤ – проницаемости ,iε .iμ Из решения уравнений Максвелла при условии ,rρ = согласно (1), определяется искомый нор- мированный поверхностный импеданс ,zE Hϕζ = который выражается через функции Бесселя 0,1I и Неймана 0,1N соответствующих порядков сле- дующим образом: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 z I k r N k riE H I k r N k rϕ ⎧ ⎫εμ + εμ⎧ ⎫ μ⎪ ⎪ = ×⎨ ⎬ ⎨ ⎬ εεμ + εμ⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ( ) ( )1 0i i i iN k r I k r⎡ ε× εμ ε μ −⎢ μ⎣ ( ) ( )0 1i i i i i i N k r I k r ⎤ε − εμ ε μ ×⎥μ ⎥⎦ ( ) ( )0 1i i i i i i I k r I k r ⎡ ε × εμ ε μ −⎢ μ⎢⎣ ( ) ( ) 1 1 0 .i i i iI k r I k r −⎤ε − εμ ε μ ⎥μ ⎦ (27) Полагая 0ir = и 1ε  ( )4 ( ) ,i′ε = ε + πσ ω полу- чаем известную формулу для учета скин-эффек- та цилиндрического проводника [83]: 0 1 ( ) , 120 ( ) I k rk I k r ′′ζ = ′πσ (28) где 0(1 ) ,k i′ = − Δ ( )0 2kΔ = ω πσωμ – тол- щина скин-слоя, σ – проводимость металла. Заметим, что здесь выражение для 0Δ совпада- ет с точностью до обозначений с формулой (10), а соответственно и с выражением (14). Для гофрированного 1 2( ~ )L L или ребристого 1 2( )L L проводника (здесь 1L – толщина греб- ня с 0,ζ = 2L – ширина впадины с 0)ζ ≠ с пе- риодом ячеек 1 2( )L L+ λ εμ и при 1iε  можно усреднить значения импедансов по пе- риоду ячейки. Тогда с учетом (27) имеем 2 1 2 L i L L μζ = − × + ε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 0 0 1 , i i i i I k r N k r I k r N k r I k r N k r I k r N k r εμ εμ − εμ εμ × εμ εμ − εμ εμ (29) что справедливо и для проводников с изолирующим покрытием из магнитодиэлектрика 1( 0),L = а так- же для металлических цилиндров ( 0)ir = с попе- речными диэлектрическими вставками 2 1( ).L L Особый практический интерес представляет слу- чай тонких вибраторов, ( ) ( )2 ln 1,ik r k rεμ εμ  когда поверхностный импеданс не зависит от способа возбуждения проводника, а соответству- ющие граничные условия становятся сторонни- ми [6]. Тогда согласно (27)–(29) получаем следу- ющие выражения для импедансов различных вибраторов в “тонкопроволочном” приближении. Для сплошного металлического цилиндра ра- диуса 0r Δ ( 0ζ = для случая идеальной про- водимости, когда )σ → ∞ 0 1 . 120 i+ζ = πσΔ (30) Выражение (30) согласуется с формулой (13), что косвенно подтверждает возможность использова- ния (в рамках данного приближения) соотноше- ний для поверхностных импедансов, представлен- ных выше для плоской поверхности, и для вибра- торов, причем не только в случае классического скин-эффекта (13), но и для случая аномального скин-эффекта (15)–(19), а также режима сверх- проводников (21), (22). 74 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 1, 2014 С. Л. Бердник и др. Для диэлектрического металлизированного ци- линдра с покрытием из металла толщиной 00h Δ 0 1 . 120 ( 1) 2h ikr ζ = πσ + ε − (31) Для трубчатого металлического цилиндра ра- диуса 0r Δ (для вибратора нанорадиуса [84]: 0 ,h r= 0 )r Δ при подстановке 1ε = в (31) 0 1 . 120 h ζ = πσ (32) Для диэлектрического цилиндра при подста- новке 0 0h = в (31) 2 . ( 1) i kr ζ = − ε − (33) Для металлодиэлектрического цилиндра 2 1 2 2 . L i L L kr ζ = − + ε (34) Для магнитодиэлектрического металлизирован- ного цилиндра с внутренним проводящим цилин- дром ( )0 1 , 120 ln( )ih i kr r r ζ = πσ − μ (35) откуда при ir r= следует (32). Для металлического цилиндра с покрытием из магнитодиэлектрика толщиной ir r− или ребрис- того цилиндра при подстановке 0 0h = в (35) ln( ).iikr r rζ = μ (36) Для вибраторов со спиральной проводимостью (которые в паре при противоположных направле- ниях намотки спирали составляют киральный объект [66]) в частном случае однозаходной металлической спирали радиуса ( 1)r kr  с уг- лом намотки ψ поверхностный импеданс может быть найден по формуле: 2( 2) ctg .i krζ = ψ (37) Заметим, что отношения (30)–(37) получены в рамках общей импедансной концепции в системе СГС и справедливы для тонких цилиндров как бесконечной, так и конечной протяженности, рас- положенных в свободном пространстве. Для виб- ратора в материальной среде с параметрами 1ε и 1μ необходимо во всех формулах ввести мно- житель 1 1 .μ ε Отдельно следует выделить возможность рас- чета поверхностного сопротивления углеродной нанотрубки Sρ [84–86]. Например, в случае рас- положения однослойной трубки целиком в диэ- лектрике с диэлектрической проницаемостью ε и магнитной проницаемостью 1μ = его можно оп- ределить с помощью следующего соотношения: 2 2 2 Ф( ) (2 ),S i a i e vρ = π ω − ν= (38) где a – радиус нанотрубки, Фv – скорость Ферми (для углеродной нанотрубки 5Ф 9.71 10 м/c),v ≈ ⋅ ω – циклическая частота, ν – релаксационная час- тота (для углеродной нанотрубки 43.33 10ν = ⋅ Гц), e – заряд электрона, = – постоянная Планка. Далее, учитывая соотношение 1 ,Sσ = ρ поверхностный импеданс можно найти с помощью формулы (32). Следует отметить, что многочисленные зада- чи, исследованные в монографии [82] и представ- ленные в ее литературных источниках, раскры- вают перспективы дальнейшего использования импедансных вибраторов в качестве базовых элементов новых современных антенно-волновод- ных устройств и приборов, работающих в диапа- зонах от метровых до миллиметровых длин волн, для различных областей применения. 5. Âûâîäû Целью работы являлась систематизация резуль- татов использования концепции импедансного граничного условия в задачах электродинамики на основании аналитического обзора литературных источников. В обзоре проанализированы пределы и условия корректного применения импедансного граничного условия, включая требования к геомет- рии граничных поверхностей, на которых оно вы- полняется. Представлены типы структур, для ко- торых в настоящее время известны методы тео- ретического определения значений сторонних поверхностных импедансов. Для большинства рас- смотренных случаев в обзоре приведены формулы для расчетов значений поверхностных импедансов (кроме тех, где формулы слишком громоздки и со- держат большое количество различных структур- ных параметров, требующих отдельного описания). При этом уделено внимание структурам пленочно- ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 1, 2014 75 Использование концепции поверхностного импеданса в задачах электродинамики (75 лет спустя) го типа, которые являются наиболее перспектив- ными для создания на их основе технологичных уп- равляющих элементов в устройствах СВЧ и КВЧ диапазонов длин волн. Достаточно полно предс- тавлены также результаты для сторонних поверх- ностных импедансов, которые могут характеризо- вать электрически тонкие вибраторы. Анализ литературы позволил выявить тенден- ции в дальнейшем развитии импедансного подхо- да и очертить круг задач, решение которых необ- ходимо в рамках этого развития. Будет умест- ным начать с общих задач методологического плана. Во-первых, при необходимости формули- ровка точного граничного условия (5) может быть расширена до представления, учитывающего кри- визну поверхности раздела S с учетом соотноше- ний (3). Во-вторых, условие (5) может быть обоб- щено и на случай, когда поверхностный импеданс является не константой, а скалярной функцией координат. В-третьих, (5) может быть использо- вано в формулировке условия для анизотропного поверхностного импеданса, когда он представ- ляется двумерным тензором второго ранга (4). По крайней мере все три варианта дальнейшего обобщения формулировки условия (5), при всей ожидаемой сложности, для сторонних импе- дансов кажутся принципиально реализуемыми. Заметим, что в третьем случае представление импеданса в виде ряда (5) может быть примени- мо ко всем (или выборочно к конкретным) ком- понентам тензора поверхностного импеданса. Важным для развития теории импедансного подхода является также обобщение импедансно- го условия для задач спектрального анализа, ког- да компоненты электромагнитного поля опреде- ляются в виде рядов частотно-пространственных гармоник и импеданс “рассыпается” на пар- циальные составляющие, являясь величиной, за- висящей как от частоты, так и от номера прост- ранственной гармоники базисного представления поля [7, 12–15, 35, 36]. Отсутствие в рамках та- кого анализа возможности использования разных частотно-пространственных базисов для представ- ления полей в сопряженных областях пока не по- зволяет объединить его с концепцией стороннего импеданса единой методикой. В основном по этой же причине требует всестороннего осмысления и применение граничного условия для поверхност- ного импеданса, заданного в виде фрактальных координатных зависимостей [87]. Актуальными являются применения импедан- сного подхода в исследованиях новых радиофи- зических приложений. 1. В настоящее время в отдельное направле- ние выделяются исследования магнитоэлектри- ческих материалов и мультиферроиков, у кото- рых проявляется взаимосвязь магнитных и элек- трических свойств. Наличие у таких веществ магнитоэлектрического эффекта (свойства поля- ризоваться в магнитном поле и намагничиваться в электрическом) открывает целый ряд новых областей для их практического использования. В обширном обзоре [88] рассмотрены основные виды магнитоэлектрических взаимодействий, их механизмы и условия возникновения. При этом особое внимание уделяется средам, магнитоэлек- трические свойства которых проявляются при комнатных температурах, поскольку именно та- кие материалы являются наиболее перспектив- ными для практических приложений (например, материалы на основе феррита висмута, пленки ферритов гранатов и т. д.). Однако оказывается, что наибольшие магнитоэлектрические эффекты могут быть реализованы в случае композитных мно- гослойных структур. Так, в композитах пьезо- электрик–ферромагнетик магнитоэлектрический эффект достигает значений 1 10 Вт/(см Э),÷ ⋅ что почти на три порядка превосходит показатели лучших образцов однофазных мультиффероиков. Разумеется, что такая многослойная структура может быть описана, как указывалось выше, с помощью импедансного подхода. При этом зна- чение ее эффективного поверхностного импедан- са может варьироваться воздействием внешних электрических и магнитных полей. 2. В случае необходимости учета непрерывно изменяющихся значений материальных парамет- ров слоя магнитодиэлектрика ε и μ также мо- жет быть успешно использован импедансный подход. Во-первых, непрерывные функции ε и μ могут быть аппроксимированы кусочно-постоян- ными зависимостями. Другими словами, рас- сматриваемый слой со сложной средой заполне- ния может быть формально заменен его простым (в случае одномерных зависимостей) или обоб- щенным мультислойным представлением. Во-вто- рых, может быть использован общий способ ре- шения задач распространения и линейной транс- формации электромагнитных волн в анизотропных и гиротропных средах с тензорным диэлектри- 76 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 1, 2014 С. Л. Бердник и др. ческим и магнитным откликом, развитый в рабо- те [89]. В качестве примера таких сред (см. ис- точники в [89]) можно указать магнитоактивную плазму, оптически активные кристаллы (в том чис- ле магнитоупорядоченные) и жидкие кристаллы, магнитные полупроводники, искусственные мета- материалы, намагниченный вакуум и др. Второй способ основывается на выделении уравнения для волнового импеданса в предположении того, что значения импеданса 1ζ = ± соответствуют волнам, распространяющимся вдоль и против рассматри- ваемой координатной оси. В общем случае это нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка определяется как замкнутое эволюцион- ное уравнение для волнового импеданса, имеющее в качестве начальных условий импедансные гра- ничные условия на краях слоя. Таким образом, исходная краевая задача для среды в слое разби- вается на две эволюционные задачи (для волно- вого импеданса и компонент электромагнитного поля), которые можно решать последовательно. Применение этого способа является достаточно простым для однородных и плавно неоднород- ных сред, где нормальные волны с различной поляризацией не взаимодействуют между собой. В сложных средах между волнами появляется связь. В этом случае распределение электромаг- нитного поля описывается векторными уравнени- ями, соответственно вместо скалярного волново- го импеданса возникает матричный оператор. Однако и для компонент матрицы волнового импеданса оказывается возможным построить систему эволюционных уравнений. Интегрирова- ние этих уравнений позволяет находить коэффи- циенты отражения, поглощения и прохождения плоской монохроматической волны, а затем по распределению волнового импеданса внутри сре- ды восстанавливать распределение волнового поля для произвольной зависимости компонент диэлектрической или магнитной проницаемости от координат. Следует отметить, что даже в мат- ричной формулировке рассматриваемый подход является частной формой более общего метода, известного в математической литературе как ме- тод инвариантного погружения [90]. 3. В случае использования пассивных металли- ческих элементов, периодически расположенных в слое диэлектрика, структуры традиционно назы- вают частотно-селективными поверхностями. Обычно они представляют собой тонкий слой из периодически расположенных металлических элементов на диэлектрической подложке или апертур в металлическом экране. Часто такие тонкие пласты уложены один на другой и разделе- ны слоями диэлектрического материала. Много усилий было затрачено на исследования дифрак- ционных свойств таких структур и разработку эффективных математических моделей. Опыт исследований частотно-селективных поверхнос- тей на протяжении десятилетий обобщен в моно- графиях [91, 92]. Не приводя здесь сравнитель- ный анализ разных методов моделирования тех или иных структур, подчеркнем, что в процессе решения задачи в любом случае необходимо оп- ределить амплитудные и энергетические коэффи- циенты отраженных и прошедших волн, состоя- ния их фаз и поляризаций. Другими словами, из общего решения задачи всегда существует воз- можность найти для структуры на основании соотношения (23) нелокальный импеданс ˆ ( )kζ G и исследовать ее в рамках импедансного подхода. Рассматривая перспективы развития импедан- сного подхода, следует также указать, что одно- сторонние граничные условия импедансного типа не являются единственным видом эквивалент- ных граничных условий. В электродинамике ис- пользуются и двухсторонние граничные условия типа Вайнштейна–Сивова [93], связывающие поля по обе стороны тонких резистивных, сверхпрово- дящих и других полупрозрачных пленок. Однако по физической сути двухсторонние условия так- же можно отнести к реализации импедансной концепции. Поэтому работы этого направления, появляющиеся в литературе, следует считать актуальными и с точки зрения развития общей теории импедансного подхода. Разумеется, материалы обзора не претендуют на полное справочное издание, охватывающее все результаты и аспекты развития концепции гра- ничных условий импедансного типа в задачах электродинамики за последнее 75 лет. Но даже представление основных из них является доста- точным доказательством плодотворности эврис- тической идеи М. А. Леонтовича. Авторы на- деются, что приведенные в статье сведения бу- дут полезны для специалистов в области теорети- ческой и прикладной электродинамики, а также для аспирантов, молодых ученых и студентов, только осваивающих радиофизические и радиотехничес- кие специальности. ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 1, 2014 77 Использование концепции поверхностного импеданса в задачах электродинамики (75 лет спустя) СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 01. Большая советская энциклопедия: В 30 т. – М.: Советс- кая энциклопедия, 1969–1978. 02. Рытов С. М. Расчет скин-эффекта методом возмуще- ний // ЖЭТФ. – 1940. – Т. 10, Вып. 2. – С. 180–190. 03. Леонтович М. А. О приближенных граничных усло- виях для электро-магнитного поля на поверхности хорошо проводящих тел // Исследования по распрост- ранению радиоволн. Сборник второй. – М.–Л.: Изд-во АН СССР, 1948. – С. 5–12. 04. Леонтович М. А. Теоретическая физика. Избранные труды. – М.: Наука, 1985. – С. 351–355. 05. Щукин А. Н. Распространение радиоволн. – М.: Связь- издат, 1940. – 399 с. 06. Миллер М. А., Таланов В. И. Использование понятия поверхностного импеданса в теории поверхностных элек- тромагнитных полей (обзор) // Изв. вузов. Радиофи- зика. – 1961. – Т. 4, № 5. – С. 795–830. 07. Ильинский А. С., Слепян Г. Я. Импедансные граничные условия и их применение для расчета поглощения элек- тромагнитных волн в проводящих средах // Радиотехни- ка и электроника. – 1990. – Т. 35, № 6. – С. 1121–1135. 08. Ильинский А. С., Кравцов В. В., Свешников А. Г. Мате- матические модели электродинамики. – М.: Высшая школа, 1991. – 224 с. 09. Физическая энциклопедия: В 5 т. – М.: Советская эн- циклопедия, 1983. 10. Фельд Я. Н. Основные уравнения, теорема единствен- ности и граничные задачи электродинамики // I-я Все- союзн. школа-семинар по дифракции и распрост- ранению волн: тексты лекций. – Москва–Харьков: ВИРТА. – 1968. – С. 93–109. 11. Фейнберг Е. Л. Распространение радиоволн вдоль земной поверхности. 2-е изд. – М.: Наука, Физматлит, 1999. – 496 с. 12. Senior T. B. A. and Volakis J. L. Approximate boundary conditions in electromagnetics. – London: IEE, 1995. – 351 p. 13. Hoppe D. J. and Rahmat–Samii Y. Impedance boundary conditions in electromagnetics. – Washington, D. C.: Taylor and Fransic Publ., 1995. – 176 p. 14. Yuferev S. V. and Ida N. Surface impedance boundary con- ditions. A comprehensive approach. – Boca Raton: CRC Press, 2009. – 410 p. 15. Tretyakov S. Analytical Modeling in Applied Electromag- netics. – Norwood, MA: Artech House, 2003. – 272 p. 16. Белькович И. В., Жексенов М. А., Козлов Д. А. Сравне- ние вариантов импедансных граничных условий при падении плоской электромагнитной волны на диэлект- рическое полупространство // Журнал радиоэлект- роники. – 2011. – № 7. – и. н. 042110014/0047. 17. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. – М.: Наука, 1973. – 343 с. 18. Альшиц В. И., Любимов В. Н. Обобщение приближе- ния Леонтовича для электромагнитных полей на гра- нице диэлектрик металл // УФН. – 2009. – Т. 179, № 8. – С. 865–871. 19. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. – М.: Ра- дио и связь, 1988. – 440 с. 20. Менде Ф. Ф., Спицын А. И. Поверхностный импеданс сверхпроводников. – Киев: Наукова думка, 1985. – 240 с. 21. Рамо С., Уиннери Дж. Поля и волны в современной радиотехнике. – М.–Л.: ОГИЗ, 1948. – 631с. 22. Александров Б. Я., Рыбальченко Л. Ф., Дукин В. В. Очистка меди зонной плавкой // Изв. АН СССР, Сер. Металлы. – 1970. – № 4. – С. 68–75. 23. Reuter G. E. H. and Sondheimer E. H. The theory of ano- malous skin effect in metals// Proc. Roy. Soc. London, Ser. A. – 1948. – Vol. 195, No. 1042. – P. 336–364. 24. Chambers R. S. The anomalous skin effect // Proc. Roy. Soc. London, Ser. A. – 1952. – Vol. 215, No. 1123. – P. 281–292. 25. Hartmann L. E. and Luttsnger J. M. Exact solution of the integral equations for the anomalous skin effect and cyc- lotron resonance sn metal // Phys. Rev. – 1966. – Vol. 151, No. 2. – P. 430–433. 26. Meissner W. and Ochsenfeld R. Ein neuer Effekt bei Ein- tritt der Supraleitfaig-keit // Naturwissenchaften B. – 1933. – Vol. 33, No. 44. – S. 787–788. 27. Bardeen J., Cooper L. N., and Schieffer J. R. Theory of su- perconductivity // Phys. Rev. – 1957. – Vol. 108, No. 5. – P. 1175–1204. 28. Cooper L. N. Bound electron pairs in a degenerate Fermi gas // Phys.Rev. – 1956. – Vol. 108, No. 4. – P. 1189–1190. 29. Halbritter J. Zur oberflächenimpdanz von supraleitern [Dissertation]. Karlsruhe (Deutschland): Universität Karls- ruhe, 1969. – 72 s. 30. Кравченко В. Ф. Электродинамика сверхпроводящих структур. Теория, алгоритмы и методы вычислений. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 280 с. 31. Allison J. and Benson F. A. Surface roughness and attenua- tion of precision-drawn, chemically polished, electropoli- shed, electroplated and electroformed waveguides // Proc. IEE. – 1955. – Vol. 102, No. 1. – P. 251–259. 32. Басс Ф. Г., Фукс И. М. Рассеяние волн на статистически неровной поверхности. – М.: Наука, 1972. – 424 с. 33. Менде Ф. Ф., Спицын А. И., Терещенко Н. А., Руднев О. Е. Измерение абсолютной величины реактивного поверх- ностного сопротивления и глубины проникновения поля в сверхпроводящий свинец // ЖТФ. – 1977. – Т. 47, Вып. 9. – С. 1916–1923. 34. Неганов В. А., Нефедов Е. И., Яровой Г. П. Современ- ные методы проектирования линий передачи и резона- торов сверх- и крайневысоких частот. – М.: Педаго- гика–Пресс, 1998. – 328 с. 35. Ильинский А. С., Слепян Г. Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. – М.: Изд-во МГУ, 1983. – 231 с. 36. Ilyinsky A. S., Slepyan G. Ya., and Slepyan A. Ya. Propaga- tion, scattering and dissipation of electromagnetic wa- ves. – Stevenage, England: Peregrinus on behalf of the In- stitution of Electrical Engineers, 1993. – 279 p. 37. Карпович В. А., Родионова В. Н., Слепян Г. Я. Высоко- добротные гребенчатые резонаторы миллиметровых волн // Радиотехника и электроника. – 2002. – Т. 47, № 5. – С. 570–574. 38. Казанский В. Б., Туз В. Р., Хардиков В. В. Каскадное соединение аксиально-симметричных неоднородных ре- зонаторов с импедансными стенками // Радиофизика и радиоастрономия. – 2006. – Т. 11, № 2. – С. 159–168. 78 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 1, 2014 С. Л. Бердник и др. 39. Ефремов В. Н. Картирование и мониторинг состояния сильнольдистых грунтов радиоимпедансным зондирова- нием // Наука и образование. – 2009. – № 4 (56). – С. 81–85. 40. Heymsfield S. B., Lohman T. G., Wang Z., Going S. B., edi- tors. Human body composition (2nd ed.). – Champaign, IL: Human Kinetics, 2005. – 533 p. 41. Yoshitomi K. Radiation from a Slot in an Impedance Surface // IEEE Trans. Antennas Propag. – 2001. – Vol. 49, No. 10. – P. 1370–1376. 42. Mikhail V. Nesterenko, Victor A. Katrich, Yuriy M. Penkin, and Sergey L. Berdnik. Analytical and Hybrid Methods in the Theory of Slot-Hole Coupling of Electrodynamic Volumes. – New York: Springer Science+Business Media, 2008. – 146 p. 43. Tichener J. B. and Willis S. R. The reflection electromag- netic waves form stratified anisotropic media // IEEE Trans. Antennas Propag. – 1991. – Vol. 39, No. 1. – P. 35–40. 44. Багацкая О. В., Шульга С. Н. Импедансный подход к решению задачи об отражении плоской электромаг- нитной волны от многослойной пластины из одноосно- го магнитодиэлектрика // Вісник ХНУ ім. В. Н. Кара- зіна, серія “Радіофізика та електроніка”. – 2001. – Вип. 1, № 513. – С. 25–31. 45. Лерер А. М. Применение граничных условий импеданс- ного типа к расчету дисковых диэлектрических резона- торов // Радиотехника и электроника. – 1991. – Т. 36, № 10. – С. 1923–1930. 46. Penkin D., Yarovoy A., and Janssen G. Surface impedance model for nano-scale device communications over an inter- face // Proc. of the IEEE 19th Symposium on Communica- tions and Vehicular Technology in the Benelux (SCVT). – Eindhoven (Netherlands). – 2012. – P. 1–5. 47. Кинг Р., Смит Г. Антенны в материальных средах: В 2-х книгах. Кн. 1. Пер. с англ. – М.: Мир, 1984. – 824 с. 48. Шестопалов В. П., Литвиненко Л. Н., Масалов С. А., Сологуб В. Г. Дифракция волн на решетках. – Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1973. – 287 с. 49. Литвиненко Л. Н., Просвирнин С. Л. Спектральные операторы рассеяния в задачах дифракции волн на плос- ких экранах. – Киев: Наук. думка, 1984. – 240с. 50. Шестопалов В. П., Кириленко А. А., Масалов С. А., Си- ренко Ю. К. Резонансное рассеяние волн. Т. 1. Дифрак- ционные решетки. – Киев: Наук. думка, 1986. – 232 с. 51. Лерер А. М., Ячменов А. А. Математическое моделиро- вание диэлектрических решеток при помощи импеданс- ных граничных условий // Радиотехника и электроника. – 2004. – Т. 49, № 4. – С. 445–449. 52. Лерер А. М., Махно В. В., Ячменов А. А. Математичес- кое моделирование распространения собственных волн в цилиндрических решетках при помощи импедансных граничных условий // Радиотехника и электроника. – 2006. – Т. 51, № 1. – С. 46–53. 53. Electromagnetic Theory of Grating. R. Petit, editor. – Ber- lin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1980. – 283 p. 54. Frequency Selective Surfaces. T. K. Wu, editor. – New York: John Wiley, 2000. – 331 p. 55. Грибовский А. В., Просвирнин С. Л. Частотно-избира- тельные свойства многоэлементного экрана с волновод- ными каналами прямоугольного сечения // Радиофи- зика и электроника. – Харьков: Ин-т радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины. – 2004. – Т. 9, № 2. – С. 341–346. 56. Кириленко А. А., Перов А. О., Сенкевич С. Л. Резонанс- ные свойства перфорированного экрана с двумя запре- дельными круглыми отверстиями различного диаметра в периодической ячейке // Радиофизика и радиоастро- номия. – 2009. – Т. 14, № 1. – С. 45–57. 57. Кириленко А. А., Перов А. О. О природе резонансных свойств двухмерно-периодического экрана с запредель- ными отверстиями // Радиофизика и электроника. – Харьков: Ин-т радиофизики и электроники им. А. Я. Уси- кова НАН Украины. – 2007. – Т. 12, № 3. – С. 489–497. 58. Кириленко А. А., Мосьпан Л. П. Отражательная решет- ка из перфорированных лент как частотно-селективная поверхность // Радиофизика и радиоастрономия. – 2011. – Т. 16, № 1. – С. 90–97. 59. Belov P. A. and Tretyakov S. A. Resonant reflection from dipole arrays located very near to conducting planes // J. Electromagn. Waves Appl. – 2002. – Vol. 16, No. 1. – P. 129–143. 60. Младенов П. Л., Просвирнин С. Л. Микрополосковая двухпериодическая решетка из непрерывных криво- линейных металлических лент как высокоимпедансная поверхность // Радиофизика и радиоастрономия. – 2003. – Т. 8, № 4. – С. 375–382. 61. Сидорчук Н. В., Ячин В. В. Рассеяние электромагнитных волн двоякопереодическим магнитодиэлектричеким слоем // Радиофизика и радиоастрономия. – 2005. – Т. 10, № 1. – С. 50–61. 62. Сидорчук Н. В., Ячин В. В., Просвирнин С. Л. Длин- новолновое приближение в задаче распространения элек- тромагнитных волн в двупериодическом магнитодиэлек- трическом слое // Радиофизика и электроника. – Харь- ков: Ин-т радиофизики и электроники им. А. Я. Усико- ва НАН Украины. – 2002. – Т. 7, Спец. вып. – С. 208–212. 63. Ячин В. В., Зиненко T. Л., Киселев В. К. Квазистатичес- кое приближение для рассеяния плоской волны на двух- периодическом гиротропном слое // Радиофизика и ра- диоастрономия. – 2009. – Т. 14, № 2. – С. 174–182. 64. Шевченко В. В. Киральные электромагнитные объекты и среды // Соросовский образовательный журнал. – 1998. – № 2. – С. 109–114. 65. Lindell I. V., Sihvola A. H., Tretyakov S. A., and Viitanen A. J. Electromagnetic waves in chiral and bi-isotropic media. – London: Artech House, 1994. – 291 p. 66. Каценеленбаум Б. З., Коршунова Е. Н., Сивов А. Н., Шатров А. Д. Киральные электродинамические объек- ты // УФН. – 1997. – Т. 167, № 11. – С. 1201–1212. 67. Lakhtakia A., Varadan V. K., and Varadan V. V. Time- harmonic electromagnetic fields in chiral media. Lecture Notes in Physics. – Berlin, Heidelberg, Boston: Springer- Verlag, 1989. – 121 p. 68. Третьяков С. А. Электродинамика сложных сред: ки- ральные, биизотропные и некоторые бианизотропные материалы // Радиотехника и электроника. – 1994. – Т. 39, № 10. – С. 1457–1470. 69. Неганов В. А., Осипов О. В. Отражающие, волноведу- щие и излучающие структуры с киральными элемен- тами – М.: Радио и связь, 2006. – 280 с. 70. Lakhtakia A., Varadan V. V., and Varadan V. K. Scattering and absorption characteristics of lossy dielectric, chiral, nonspherical objects // Appl. Opt. – 1985. – Vol. 24, No. 23. – P. 4146–4154. ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 1, 2014 79 Использование концепции поверхностного импеданса в задачах электродинамики (75 лет спустя) 71. Lakhtakia A., Varadan V. V., and Varadan V. K. Field equa- tions, Huygens’s principle, integral equations, and theo- rems for radiation and scattering of electromagnetic waves in isotropic chiral media // J. Opt. Soc. Am. – 1988. – Vol. 5, No. 2. – P. 175–184. 72. Шевченко В. В. Дифракция на малой киральной частице // Радиотехника и электроника. – 1995. – Т. 40, № 12. – С. 1777–1788. 73. Tretyakov S. A. and Mariotte F. Maxwell Garnett modeling of uniaxial chiral composites with bianisotropic inclusions // J. Electromagn. Waves Appl. – 1995. – Vol. 9, No. 7/8 – P. 1011–1025. 74. Просвирнин С. Л. Преобразование поляризации при отражении волн микрополосковой решеткой из элемен- тов сложной формы // Радиотехника и электроника. – 1999. – Т. 44, № 6. – С. 681–686. 75. Prosvirnin S. L. Analysis of electromagnetic wave scatte- ring by plane periodical array of chiral strip elements // Proc. of 7-th International Conference on Complex Media “Bianisotropic-98”, 3-6 June 1998. – Braunschweig (Ger- many). – 1998. – P. 185–188. 76. Arnaut L. R. Mutual coupling in arrays of planar chiral structures. In: A. Priou, A. Sihvola, S. Tretyakov, A. Vino- gradov, editors. Advances in Complex Electromagnetic Ma- terials. – Dordrecht–Boston–London: Kluwer Academic Publ. – 1997. – Vol. 28. – P. 293–309. 77. Jaggard D., Engheta N., Kowarz M. W., Pelet P., Liu J. C., and Kim Y. Periodic chiral structures // IEEE Trans. Anten- nas Propag. – 1989. – Vol. 37, No. 11. – P. 1447–1452. 78. Васильева Т. Д., Просвирнин С. Л. Дифракция электро- магнитных волн на плоской решетке из киральных по- лосковых элементов сложной формы // Физика волно- вых процессов и радиотехнические системы. – 1998. – Т. 1, № 4. – С. 5–9. 79. Prosvirnin S. L. and Zheludev N. I. Polarization effects in the diffraction of light by a planar chiral structure // Phys. Rev. E. – 2005. – Vol. 71, Is. 3. – id. 37603. 80. Осипов О. В., Панферова Т. А. Приближенные гранич- ные условия для тонких киральных слоев с криволи- нейной формой поверхности // Радиотехника и электро- ника. – 2010. – Т. 53, № 5. – С. 568–570. 81. Пат. 2418292 Россия, МПК G 01 N 23/02. Способ опре- деления параметра киральности искусственных кираль ных сред: Пат. 2418292 Россия, МПК G 01 N 23/02 / А. Н. Волобуев, О. В. Осипов, Т. А. Панферова; Заявл. 22.03.2010; Опубл. 10.05.2011. – 6 с. 82. Mikhail V. Nesterenko, Victor A. Katrich, Yuriy M. Penkin, Victor M. Dakhov, and Sergey L. Berdnik. Thin Impedance Vibrators. Theory and Applications. – New York: Springer Science+Business Media, 2011. – 223 p. 83. King R. W. P. and Wu T. The imperfectly conducting cylin- drical transmitting antenna // IEEE Trans. Antennas Pro- pag. – 1966. – Vol. 14, Is. 5. – P. 524–534. 84. Hanson G. W. Radiation efficiency of nano-radius dipole antennas in the microwave and far-infrared regimes // IEEE Antennas. Propag. Mag. – 2008. – Vol. 50, Is. 3. – P. 66–77. 85. Hanson G. W. Fundamental Transmitting Properties of Carbon Nanotube Antennas // IEEE Trans. Antennas Propag. – 2005. – Vol. 53, Is. 11. – P. 3426–3435. 86. Slepyan G. Ya., Shuba M. V., Maksimenko S. A., and La- khtakia A. Theory of optical scattering by achiral carbon nanotubes, and their potential as optical nanoantennas // Phys. Rev. B. – 2006. – Vol. 73, Is. 19. – id. 195416. 87. Потапов А. А. Фракталы в радиофизике и радиолока- ции: Топология выборки. – М.: Университетская книга, 2005. – 848 с. 88. Пятаков А. П., Звездин А. К. Магнитоэлектрические материалы и мультиферроики // УФН. – 2012. – Т. 182, № 6. – С. 593–620. 89. Шалашов А. Г., Господчиков Е. Д. Импедансный метод решения задач распространения электромагнитных волн в анизотропных и гиротропных средах // УФН. – 2011. – Т. 181, № 2. – С. 151–172. 90. Кляцкин В. И. Метод погружения в теории распрост- ранения волн. – М.: Наука, 1986. – 256 с. 91. Vardaxoglou J. C. Frequency Selective Surfaces: Analysis and Design. – Research Studies Press, 1997. – 284 p. 92. Munk B. A. Frequency Selective Surfaces: Theory and Design. – New York: John Wiley, 2000. – 410 p. 93. Нефедов Е. И., Сивов А. Н. Электродинамика периоди- ческих структур. – М.: Наука, 1977. – 208 с. С. Л. Бердник, Д. Ю. Пєнкін, В. О. Катрич, Ю. М. Пєнкін, М. В. Нестеренко Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, м. Свободи, 4, м. Харків, 61022, Україна ВИКОРИСТАННЯ КОНЦЕПЦІЇ ПОВЕРХНЕВОГО ІМПЕДАНСУ В ЗАДАЧАХ ЕЛЕКТРОДИНАМІКИ (75 РОКІВ ПОТОМУ) Надаються результати аналітичного огляду літературних джерел щодо питання використання імпедансного підходу в розв’язанні крайових задач електродинаміки за 75-річний період після формулювання М. А. Леонтовичем імпеданс- них граничних умов для електромагнітного поля на поверхні провідного тіла. За цей період імпедансний підхід був уза- гальнений на широке коло електродинамічних задач, у яких його використання дозволило значно розширити межі мате- матичного моделювання, що адекватно враховує фізичні властивості реальних граничних поверхонь. Тому методоло- гічно важливо систематизувати досвід багатьох авторів щодо застосування такого підходу. Проаналізовано межі й умови коректного застосування імпедансної граничної умови та надано типи металодіелектричних структур, для яких наразі відомі методи теоретичного визначення значень по- верхневих імпедансів. Надано уваги характеристикам повер- хонь структур плівкового типу та електрично тонких імпе- дансних вібраторів. S. L. Berdnik, D. Yu. Penkin, V. A. Katrich, Yu. M. Penkin, and M. V. Nesterenko V. Kazarin National University of Kharkiv, 4, Svoboda Sq., Kharkiv, 61022, Ukraine USING THE CONCEPT OF SURFACE IMPEDANCE IN PROBLEMS OF ELECTRODYNAMICS (75 YEARS LATER) An analytical review of literature related to application of the impedance approach in solving electrodynamic boundary value 80 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 1, 2014 С. Л. Бердник и др. problems for 75 years since 1938, when M. A. Leontovich had formulated the impedance boundary conditions for electromag- netic fields on a conductive body surface, is here presented. During this period, the impedance approach has been extended to a wide range of electrodynamic problems, where its usage allows to greatly extend the scope of mathematical modelling, which adequately takes into account physical properties of real boundary surfaces. Therefore, it should be important to system- atize the experience of many authors concerning this approach. The limits and conditions for correct usage of the impedance boundary conditions are analyzed, too. Metal-dielectric struc- tures with known theoretical values of surface impedance are also presented. Special attention is paid to the characteristics of film structures and thin impedance vibrators. Статья поступила в редакцию 05.12.2013