Минимаксные среднеквадратические оценки матричных параметров в задачах ли-нейной регрессии в условиях неопределенности

Abstract

Досліджено проблему оцінювання параметрів у задачах лінійної регресії з випадковими матричними коефіцієнтами. За умови, що спостерігаються випадкові лінійні функції від невідомих матриць з випадковими похибками, які мають невідомі кореляційні матриці, досліджено задачі гарантованого середньоквадратичного оцінювання лінійних функцій від матриць. Отримано оцінки зверху та знизу гарантованих середньоквадратичних похибок лінійних оцінок за спостереженнями лінійних функцій від матриць у тому випадку, коли відомі множини, яким належать невідомі матриці та кореляційні матриці похибок спостережень. Встановлено, що в деякому окремому випадку такі оцінки є точними. За припущення, що множини є обмеженими, опуклими та замкненими, одержано більш точні двосторонні оцінки для гарантованих похибок. Знайдено умови, коли гарантовані середньоквадратичні похибки наближаються до нуля при збільшенні кількості спостережень. Наведено необхідні та достатні умови незміщеності лінійних оцінок лінійних функцій від матриць. Введено поняття квазіоптимальних оцінок для лінійних функцій від матриць і доведено, що в класі незміщених оцінок квазіоптимальні оцінки існують та єдині. Для таких оцінок отримано умови збіжності до нуля гарантованих середньоквадратичних похибок. Також для лінійних оцінок невідомих матриць введено поняття квазімінімаксних оцінок та доведено, що вони незміщені. Для спеціальних множин, яким належать невідома матриця та кореляційні матриці похибок спостережень, такі оцінки виражено через розв’язок лінійних операторних рівнянь у скінченновимірному просторі. Для квазімінімаксних оцінок за певних припущень визначено вид гарантованої середньоквадратичної похибки оцінки невідомої матриці. Показано, що такі похибки обмежуються зверху сумою слідів відомих матриць. Наведено приклад знаходження мінімаксної незміщеної лінійної оцінки для спеціального виду випадкових матриць, які входять у рівняння спостереження.The issues of parameter estimation in linear regression problems with random matrix coefficients were researched. Given that random linear functions are observed from unknown matrices with random errors that have unknown correlation matrices, the problems of guaranteed mean square estimation of linear functions of matrices were investigated. The estimates of the upper and lower guaranteed standard errors of linear estimates of observations of linear functions of matrices were obtained in the case when the sets are found, for which the unknown matrices and correlation matrices of observation errors are known. It was proved that for some partial cases such estimates are accurate. Assuming that the sets are bounded, convex and closed, more accurate two-sided estimates have been gained for guaranteed errors. The conditions when the guaranteed mean squared errors approach zero as the number of observations increases were found. The necessary and sufficient conditions for the unbiasedness of linear estimates of linear functions of matrices were provided. The notion of quasi-optimal estimates for linear functions of matrices was introduced, and it was proved that in the class of unbiased estimates, quasi-optimal estimates exist and are unique. For such estimates, the conditions of convergence to zero of the guaranteed mean-square errors were obtained. Also, for linear estimates of unknown matrices, the concept of quasi-minimax estimates was introduced and it was confirmed that they are unbiased. For special sets, which include an unknown matrix and correlation matrices of observation errors, such estimates were expressed through the solution of linear operator equations in a finite-dimensional space. For quasi-minimax estimates under certain assumptions, the form of the guaranteed mean squared error of the unknown matrix was found. It was shown that such errors are limited by the sum of traces of the known matrices. An example of finding a minimax unbiased linear estimation was given for a special type of random matrices that are included in the observation equation.