Fredholm Solvability of a Periodic Neumann Problem for a Linear Telegraph Equation

Abstract

We investigate a periodic problem for the linear telegraph equation utt − uxx + 2µut = f(x, t) with Neumann boundary conditions. We prove that the operator of the problem is modeled by a Fredholm operator of index zero in the scale of Sobolev spaces of periodic functions. This result is stable under small perturbations of the equation where µ becomes variable and discontinuous or an additional zero-order term appears. We also show that the solutions of this problem possess smoothing properties.Дослiджується перiодична задача для лiнiйного телеграфного рiвняння utt − uxx + 2µut = f(x, t) з крайовими умовами Неймана. Доведено, що оператор задачi моделюється фредгольмовим оператором нульового iндексу у шкалi просторiв Соболєва перiодичних функцiй. Цей результат є стiйким щодо малих збурень рiвняння, де µ стає змiнною i розривною або з’являється додатковий член нульового порядку. Також показано, що розв’язки задачi мають властивiсть пiдвищення гладкостi.