Multiple solutions of boundary-value problems for Hamiltonian systems

Abstract

We consider two-point boundary-value problems for Hamiltonian system of the form x' = f(k, y), y' = g(x, λ), where k and λ are parameters. We estimate the number of solutions, both positive and oscillatory, for the boundary-value problems. Our main tool is the phase plane analysis combined with evaluations of time map functions. The bifurcation diagram and solution curves for Hamiltonian system are constructed. Examples are considered illustrating bifurcations with respect to the parameters k and λ.Розглянуто двоточкову граничну задачу для гамiльтонової системи вигляду x' = f(k, y), y' = g(x, λ), де k i λ — параметри. Наведено оцiнку кiлькостi додатних та осцилюючих розв’язкiв граничної задачi. Основним засобом є аналiз фазової площини та обчислення функцiй часового вiдображення. Розглянуто бiфуркацiйнi дiаграми та кривi розв’язкiв гамiльтонової системи. Наведено приклади бiфуркацiй вiдносно параметрiв k i λ.